高等数学-函数与极限

1，无理数，即无限不循环小数。包括开方开不出来的数（不完全平方数开方）、π、e等等。

2，按一定规则组合到一起的元素就是集合，按一定规则排列起来的一列数叫数列。

3，设X，Y为两个非空集，如果对于X中的每个元素，在Y中都有唯一的元素与它对应，那么就可以看成是从X到Y的一个映射。如果X中的元素不同，Y中对应的元素就不同，这样的映射称为单射；如果每个Y中的元素都能在X中找到原像，这样的映射称为满射；既是单射又是满射，那就叫一一映射。

4，如果X和Y都是实数集，映射对应的法则为f，这是f就称为函数。

5，数列$x_n$极限的定义：

$如果对于任意的正数\epsilon ，总存在正整数N，使得当n>N时，|x_n-a|<\epsilon ，那么数列x_n的极限为a（a为常数）。$

6，洛必达法则

在一定条件下，通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限的方法叫做洛必达法则。
定理1：
$（1）当x\to a时，函数f(x)和g(x)都趋近于零；$
$（2）在a的某去心邻域内，f^{\prime }(x)和g^{\prime }(x)都存在，且g^{\prime }(x)不为0；$
$（3）{\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}存在或为无穷大，$
则${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

定理2：
$（1）当x\to \infty 时，函数f(x)和g(x)都趋近于零；$
$（2）当|x|>N时，f^{\prime }(x)和g^{\prime }(x)都存在，且g^{\prime }(x)不为0；$
$（3）{\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}存在或为无穷大，$
则${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Note:对于$x\to a或x\to \infty 时的\infty /\infty 类型，洛必达法则同样适用。$

7，初等函数（elementary function）

由常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数通过四则运算而得到的函数。

8，收敛数列的性质

8.1 唯一性，如果数列{$x_n$}收敛，那么它一定有极限；
8.2 有界性，收敛数列一定有界；
8.3 保号性，如果数列{$x_n$}收敛，且${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ (a > 0 或 a < 0)，那么存在正整数N，当n > N时，都有$x_n$ > 0 或$x_n$ < 0。
8.4 如果数列{$x_n$}收敛于a，那么它的任意子数列也收敛于a。

9，函数极限的定义

以$x\to \infty$为例来说明：
对于函数f(x)，$\forall 正数\epsilon ，\exists 正数X，当|x|>X时，总有|f(x)-A|<\epsilon ，则{\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$

10，函数极限的性质

唯一性、有界性、局部保号性

11，无穷大与无穷小

11.1 $如果f(x)在x\to x_0时的极限为0，那么当x\to x_0时的函数值f(x)可以称为无穷小。$
无穷大和无穷小都不是具体的数，可以理解为一种趋势，无穷大（无穷小）比任意给定的数都大（小）。

11.2 在自变量的同一变化过程$x\to x_0或x\to \infty$中，f(x)具有极限A的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha ，其中\alpha 是无穷小$。
证明：
先证必要性。设${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A，则\forall 正数\epsilon ，\exists 正数\delta ，使当0<|x-x_0|<\delta 时，有|f(x)-A|<\epsilon 。令\alpha =f(x)-A，则\alpha 是当x\to x_0时的无穷小。$
再证充分性。$设f(x)=A+\alpha ，其中A是常数，\alpha 是当x\to x_0时的无穷小，于是|f(x)-A|=|\alpha |。因\alpha 是当x\to x_0时的无穷小，所以\forall 正数\epsilon ，\exists 正数\delta ，使得当0<|x-x_0|<\delta 时，有|\alpha |<\epsilon ，即|f(x)-A|<\epsilon 。$

12，极限运算法则

12.1 有限个无穷小的和也是无穷小；
12.2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小；
12.3 $如果\lim f(x)=A，\lim g(x)=B，那么$
（1）$\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
（2）$lim[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$
（3）$如果B不等于0，则\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$
12.4 数列也有类似于极限的四则运算法则
12.5 如果f(x)>=g(x)，且$\lim f(x)=A，\lim g(x)=B$，则A>=B
12.6 复合函数的极限运算法则。$设函数y=f(g(x))是由函数\mu =g(x)和函数y=f(\mu )复合而成，f(g(x))在点x_0的某去心邻域内有定义，若{\lim }_{x\to x_0}g(x)={\mu }_0，{\lim }_{\mu \to {\mu }_0}f(\mu )=A，且存在{\delta }_0>0，当x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)时，有g(x)不等于{\mu }_0。则{\lim }_{x\to x_0}f(g(x))={\lim }_{\mu \to {\mu }_0}f(\mu )=A。$

13，极限存在准则

13.1 夹逼准则。如果数列{xn}，{yn}，{zn}\{x_n\}，\{y_n\}，\{z_n\}{xn​}，{yn​}，{zn​}满足下列条件：
（1）$从某项起，即\exists n_0\in N，当n>n_0时，有y_n<=x_n<=z_n$；
（2）$li{m}_{n\to \infty }{y}_n=a，li{m}_{n\to \infty }{z}_n=a$；
那么数列{xn}\{x_n\}{xn​}的极限一定存在，且为a。
13.2 单调有界数列必有极限。
13.3 柯西极限存在准则。数列{xn}收敛的充分必要条件是：∀ε，∃N，使得当m&gt;N,n&gt;N时，有∣xn−xm∣&lt;ε数列\{x_n\}收敛的充分必要条件是： \forall \varepsilon，\exists N，使得当m&gt;N, n&gt;N时，有|x_n-x_m|&lt;\varepsilon数列{xn​}收敛的充分必要条件是：∀ε，∃N，使得当m>N,n>N时，有∣xn​−xm​∣<ε。
13.4 两个重要极限
$li{m}_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1，li{m}_{n\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$。

14，无穷小的比较

14.1 $如果\lim \frac{\beta }{\alpha }=$
$0,$
$\infty ,$
$c(c不等于0),$
$1，$
$那么就分别称，$
$\beta 是比\alpha 高阶的无穷小（记作\beta =o(\alpha )）$，
$\beta 是比\alpha 低阶的无穷小$，
$\beta 与\alpha 是同阶无穷小$，
$\beta 与\alpha 是等价无穷小$。
14.2 $如果\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c(c不等于0)，k>0，那么就说\beta 是关于\alpha 的k阶无穷小$。

15，闭区间上连续函数的性质

15.1 有界性与最大值最小值定理。在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。
15.2 零点定理。设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(a,b)内至少存在一点$\epsilon ，使得f(\epsilon )=0$。
15.3 介值定理。设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在两个端点分别取不同的函数值：f(a)=A，f(b)=B。那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少存在一点$\epsilon ，使得f(\epsilon )=C$。
15.4 一致连续性定义。$设函数f(x)在区间I上有定义。\forall \epsilon ，\exists \delta ，使得对于区间I上的任意两点x_1,x_2，当|x_1-x_2|<\delta 时，就有|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon 。那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。$
15.5 一致连续性定理。如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么它在该区间上一致连续（连续但不一致连续只出现在开区间的情况）。