堆排序（大顶推）

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堆排序

图片和描述转载于https://www.cnblogs.com/lanhaicode/p/10546257.html，代码是根据该描述以自己的理解自己实现的。

1、什么是堆？

堆是一种非线性结构，（本篇随笔主要分析堆的数组实现）可以把堆看作一个数组，也可以被看作一个完全二叉树，通俗来讲堆其实就是利用完全二叉树的结构来维护的一维数组

按照堆的特点可以把堆分为大顶堆和小顶堆

大顶堆：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值

小顶堆：每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值

（堆的这种特性非常的有用，堆常常被当做优先队列使用，因为可以快速的访问到“最重要”的元素）

2、堆的特点（数组实现）

（图片来源：https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html）

我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

（图片来源：https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html）

我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：（读者可以对照上图的数组来理解下面两个公式）

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

3、堆和普通树的区别

内存占用：

普通树占用的内存空间比它们存储的数据要多。你必须为节点对象以及左/右子节点指针分配额外的内存。堆仅仅使用数组，且不使用指针

（可以使用普通树来模拟堆，但空间浪费比较大，不太建议这么做）

平衡：

二叉搜索树必须是“平衡”的情况下，其大部分操作的复杂度才能达到O(nlog2n)。你可以按任意顺序位置插入/删除数据，或者使用 AVL 树或者红黑树，但是在堆中实际上不需要整棵树都是有序的。我们只需要满足对属性即可，所以在堆中平衡不是问题。因为堆中数据的组织方式可以保证O(nlog2n) 的性能

搜索：

在二叉树中搜索会很快，但是在堆中搜索会很慢。在堆中搜索不是第一优先级，因为使用堆的目的是将最大（或者最小）的节点放在最前面，从而快速的进行相关插入、删除操作

4、堆排序的过程

先了解下堆排序的基本思想：

将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值，

如此反复执行，便能得到一个有序序列了，建立最大堆时是从最后一个非叶子节点开始从下往上调整的（这句话可能不好太理解），下面会举一个例子来理解堆排序的基本思想

给一个无序序列如下

int a[6] = {7, 3, 8, 5, 1, 2};

现在可以根据数组将完全二叉树还原出来

好了，现在我们要做的事情就是要把7，3，8，5，1，2变成一个有序的序列，如果想要升序就是1，2，3，5，7，8 如果想要降序就是8，7，5，3，2，1 ，这两种就是我们要的最终结果，然后我们就可以根据我们想要的结果来选择

适合类型的堆来进行排序

升序----使用大顶堆

降序----使用小顶堆

5、为什么升序要用大顶堆呢

上面提到过大顶堆的特点：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，我们把大顶堆构建完毕后根节点的值一定是最大的，然后把根节点的和最后一个元素（也可以说最后一个节点）交换位置，那么末尾元素此时就是最大元素了（理解这点很重要）

知道了堆排序的原理下面就可以来操作了，在进行操作前先理清一下步骤

（假设我们想要升序的排列）

第一步：先n个元素的无序序列，构建成大顶堆

第二步：将根节点与最后一个元素交换位置，（将最大元素"沉"到数组末端）

第三步：交换过后可能不再满足大顶堆的条件，所以需要将剩下的n-1个元素重新构建成大顶堆

第四步：重复第二步、第三步直到整个数组排序完成

6、图解交换过程（得到升序序列，使用大顶堆来调整）

这里以int a[6] = {7, 3, 8, 5, 1, 2}为例子

先要找到最后一个非叶子节点，数组的长度为6，那么最后一个非叶子节点就是：长度/2-1，也就是6/2-1=2，然后下一步就是比较该节点值和它的子树值，如果该节点小于其左\右子树的值就交换（意思就是将最大的值放到该节点）

8只有一个左子树，左子树的值为2，8>2不需要调整

下一步，继续找到下一个非叶子节点（其实就是当前坐标-1就行了），该节点的值为3小于其左子树的值，交换值，交换后该节点值为5，大于其右子树的值，不需要交换

下一步，继续找到下一个非叶子节点，该节点的值为7，大于其左子树的值，不需要交换，再看右子树，该节点的值小于右子树的值，需要交换值

下一步，检查调整后的子树，是否满足大顶堆性质，如果不满足则继续调整（这里因为只将右子树的值与根节点互换，只需要检查右子树是否满足，而8>2刚好满足大顶堆的性质，就不需要调整了，

如果运气不好整个数的根节点的值是1，那么就还需要调整右子树）

到这里大顶堆的构建就算完成了，然后下一步交换根节点（8）与最后一个元素（2）交换位置（将最大元素"沉"到数组末端），此时最大的元素就归位了，然后对剩下的5个元素重复上面的操作

（这里用粉红色来表示已经归位的元素）

剩下只有5个元素，最后一个非叶子节点是5/2-1=1，该节点的值（5）大于左子树的值（3）也大于右子树的值（1），满足大顶堆性质不需要交换

找到下一个非叶子节点，该节点的值（2）小于左子树的值（5），交换值，交换后左子树不再满足大顶堆的性质再调整左子树，左子树满足要求后再返回去看根节点，根节点的值（5）小于右子树的值（7），再次交换值

得到新的大顶堆，如下图，再把根节点的值（7）与当前数组最后一个元素值（1）交换，再重构大顶堆->交换值->重构大顶堆->交换值····，直到整个数组都变成有序序列

最后得到的升序序列如下图

7、大顶堆排序的代码实现

#include <stdio.h>

void Swap(int *heap, int i,int j);        /* 交换元素的值 */
void BuildMaxHeap(int *heap, int len);/* 构建大顶堆 */

int main()
{
    int a[] = {7, 3, 8, 5, 1, 2};
    int len = sizeof(a)/sizeof(int);    /* 数组长度 */
    int i,j;

    for (i = len; i > 0; i--)// 需要构建len次。
    {   
        BuildMaxHeap(a, i); 
        Swap(a, 0,i-1);//构建完成一次后，将，堆顶和最后一个元素交换位置，此时，最后一个元素为最大值，下一次不需要处理最后一个元素了。
    }   
    for (i = 0; i < len; i++)
    {   
        printf("%d ", a[i]);
    }   
    printf("\n");

    return 0;
}
int HeapAdjust(int *heap,int i,int len)
{
    int l,r,max;
    max =i; 
    l=2*i+1;
    r=2*i+2;
    if (l < len && heap[max] < heap[l])    /* 根节点大于左子树，构建小顶堆只需修改比较条件 */
    {   
        min =l; 
    }   
    if (r < len && heap[max] < heap[r])    /* 根节点大于右子树，构建小顶堆只需修改比较条件 */
    {
        max =r;
    }
    if(max !=i)
    {
        Swap(heap,max,i);
        HeapAdjust(heap,max,len);//交换完以后，二叉树下面的节点可能又变成无序的了，因此递归向下调整一下。
    }
}


/* Function: 构建大顶堆 */
void BuildMaxHeap(int *heap,int len)
{
    int i;
    for (i = len/2-1; i >= 0; i--)//从最后一个非叶子节点开始。进行堆调整。
    {
        HeapAdjust(heap,i,len);
    }
}

/* Function: 交换交换根节点和数组末尾元素的值*/
void Swap(int *heap, int i,int j)
{
    int temp;

    temp = heap[i];
    heap[i] = heap[j];
    heap[j] = temp;
}