P02114065刘浩宇，P02114070程韩奇，P02114066吴其，P02114068张璐——深入理解线性分组码的生成矩阵和校验矩阵定义及其关系

线性分组码：生成矩阵与校验矩阵详解

最新推荐文章于 2024-05-08 20:32:23 发布

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线性分组码是一种用于增强数据传输可靠性的纠错编码技术，包括汉明码和循环码。这类码通过生成矩阵和校验矩阵来描述，其中生成矩阵用于编码，校验矩阵用于检测错误。线性分组码的性质包括全0信息对应全0码字，码字间的线性组合仍在码集中。生成矩阵和校验矩阵互相转换，且它们定义了码字的线性组合方式，是理解和设计纠错码的关键概念。

前言

由于移动通信存在干扰和衰落，在信号传输过程中将出现差错，故对数字信号必须采用纠、检错技术，即纠、检错编码技术，以增强数据在信道中传输时抵御各种干扰的能力，提高系统的可靠性。对要在信道中传送的数字信号进行的纠、检错编码就是信道编码。通常纠错码分为两大类，即分组码和卷积码。该篇文章主要介绍线性分组码的生成矩阵和校验矩阵。

线性分组码

定义

当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时（用线性方程组联系），这种分组码就称为线性分组码。包括汉明码和循环码。

线性分组码可以概括为如下的一个线性映射：

前面的映射函数指的是线性性质的映射，后面的GF(2)指的是伽罗华域，通俗来讲就是所有的数据位要么取0，要么取1，就是数据是二进制的形式。

描述一个线性分组码一般有个简便的记法，叫(n, k)线性分组码，k是原始数据的长度，n是原始数据经过编码后的码字长度。

性质

线性分组码有以下重要性质：

全0的信息比特对应的码字也是全0的。

C（n，k）是一组码，其中每两个码相模二加减得到的码字依然在这组码中。

生成矩阵和校验矩阵

线性分组码生成矩阵(generate matrix, G)和校验矩阵(parity matrix, H)信道编码器将输入为的k - bit信息编码成)的n — bit 信息（n > k)。从线性代数向量空间的角度看，线性分组码(n, k)是n元组(n-tuples）向量空间V中的k维的子空间，存在k个线性独立的码字，形成基向量，张成(spanned)码字空间C。每一个码字v可以看成是以输入信息u作为系数的基向量的线性组合，如下式所示:

矩阵G称为线性分组码的校验矩阵(parity matrix)。线性分组码(n, k)是由矩阵G的行向量张成的子空间，也即G的行空间。由上面的秩-零度定理可知，矩阵G的零空间N(G)的维度为n —k。因而可以找出n —k个线性独立的向量，张成G的零空间N(G)，如下所示，ho, h1,... , hn_1张成了G的零空间N(G)。