面试准备（一）、动态规划

前言

动态规划的思路说起来很简单，但是新遇到一个题目往往就会卡壳，甚至出现解不出来的情况。因此学习的过程中，有必要对面试准备中涉及到的动态规划题目记录，这里只谈思路，不涉及具体实现。

通过分析不仅可以总结思路，更重要的是能从这些问题中找出动态规划题目求解的共性，希望彻底搞定动态规划！。

动态规划

动态规划常用来解决优化问题，与递归分治的思想相似但又不完全相同。动态规划通过找出问题的“最优子结构”，然后组合子问题的解求得最优解，核心思想是通过表格或数组记住已经求过的解（这部分是与递归最大的不同）。

一般求解流程：

1. 假设最优子结构
2. 在假设的基础上对子问题进行切分
3. 定义状态转移方程
4. 组合子问题的解（这部分涉及到需要保存解的数据结构构建）

虽然只有4步，但几乎个个都是难点：

1. 如何正确的切分问题
2. 子问题之间的状态转移方程
3. 根据状态转移方程如何进行解的结合

正是这些难点才使得这方面的题目不好解决，在接下来的总结中，重点从这些方面对题目进行思路分析。

题目

《编程之美》1.8 小飞的电梯调度算法

亚洲微软研究院所在的希格玛大厦一共有6部电梯。在高峰时间，每层都有人上下，电梯每层都停。实习生小飞常常会被每层都停的电梯弄的很不耐烦，于是他提出了这样一个办法：
由于楼层并不算太高，那么在繁忙的上下班时间，每次电梯从一层往上走时，我们只允许电梯停在其中的某一层。所有乘客从一楼上电梯，到达某层后，电梯停下来，所有乘客再从这里爬楼梯到自己的目的层。在一楼的时候，每个乘客选择自己的目的层，电梯则计算出应停的楼层。
问：电梯停在哪一层楼，能够保证这次乘坐电梯的所有乘客爬楼梯的层数之和最少？

分析

最优化问题，假设有N个乘客，电梯共有N层，所有乘客爬楼梯层数之和为Ans。

拍脑门算法

从1到N层，求当电梯停在i层时，总结乘客爬楼梯层数之和为Ans[i], 那么最终的答案则是这些结果中的最小值，为min(Ans[1…n])。这种方法时间复杂度为$O(n^2)$，不可取，不过倒给我们提供了一种思路，“按照电梯层数对问题进行切分”

动态规划分析

假设电梯在第$i$层停止，对应乘客爬楼梯层数之和最少为$Y$
同时假设第$i-1$层及以下的乘客数$N1$,第i层下的乘客数为$N2$,第$i+1$层及以上下的乘客数为$i+1$。
那么在这些假设前提下：

1. 当电梯在第i-1层停止时，对应乘客爬楼梯层数之和最少为$Y-N1+N2+N3$，因为低于i层的乘客少爬楼梯，高于i层的乘客需要多爬楼梯，其和相当于人数，同理可得以下：
2. 当电梯在第i+1层停止时，对应乘客爬楼梯层数之和最少为$Y+N1+N2-N3$

分析到这里，问题的解法就可以出来了，从1到N层电梯，用Ans = 0保存最优解，对每层判断$N1+N2$与$N3$的大小，当$N1+N2<N3$时，$Y+N1+N2-N3>Y$ ，说明i+1层才是最优解，继续遍历，否则最优解为$Y$, 退出。

复盘

总结解题思路：

1. 假设最优子结构：通过假设最优解，得到子问题的表达式。
2. 子问题切分：电梯层数
3. 状态转移方程：判别式$N1+N2<N3$，仅成立时继续遍历。
4. 组合解：一个变量Ans保存即可。

---

…