Kalman滤波的原理[转]

最新推荐文章于 2024-08-18 10:13:28 发布

lijie_sh

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分类专栏：数字图象处理文章标签：算法优化 random filter 工作

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以下是讲的比较细致的一个资料.http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/40/ebook/kcsj/chp1/Kalman.htm

1.卡尔曼滤波器算法
在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：

X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

再加上系统的测量值：

Z(k)=H X(k)+V(k)

     上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

     对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

     首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：

X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)

式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：

P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：

Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：

P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)

其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。

下面，我会用程序举一个实际运行的例子
2.简单例子

这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。

根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：

X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)

式子（2）可以改成：

P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)

http://blog.youkuaiyun.com/luckydongbin/archive/2007/03/01/1518594.aspx

Kalman滤波是个最优化递归处理算法

总结

在目标检测与跟踪过程中,为了提高跟踪速度,在确定目标的情况下,对目标在下一时刻的可能的位置进行估计,然后以这个估计的位置为中心,在一定的范围内进行目标的搜索,这样就可以缩小目标的搜索范围,提高跟踪速度.

1）最优（ optimal ）依赖于评价性能的判据。Kalman滤波器充分利用如下信息估计感兴趣变量当前取值：a.系统和测量装置的动态特性；b.系统噪声、测量误差和动态模型的不确定性的统计描述；c.感兴趣变量的初始条件的相关信息。（2）递归（ recursive ）是指kalman不需要保存先前的数据，当进行新的测量时也不需要对原来数据进行处理。

（3）filter（DPA）实际上是数据处理算法，只不过是计算中处理的程序，因此能处理离散时间测量样本，而不是连续时间输入。

• 基本假设

采用线性模型是合理的；这是典型工程模型在某些主要点或轨迹是线性的，线性模型比非线性模型更简单。因此用线性模型来近似。

白噪声意味着噪声值和时间不相关；白噪声指在整个频率上都有相同强度的频率特性的噪声。实际应用中将频率设为常值，带宽大大超过系统带宽的噪声称为白噪声，用高斯白噪声来模拟，可以大大简化模型。

采用高斯密度函数在实践上是可行的。因为采用高斯函数在数学上容易处理。当缺少高阶统计量时，除了假定高斯密度外，没有更好的可以表示的函数形式。用一阶和二阶统计量完全可以描述高斯白噪声。