JZOJ5843. 【省选模拟2018.8.23】b

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#容斥原理

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容斥原理

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本文探讨了一个算法竞赛题目，涉及多个序列的正整数，通过选择各序列中的元素并计算这些元素的最大公约数(GCD)，目标是求解所有可能组合下GCD的总和，并对结果进行模运算。文章详细介绍了问题的转化过程，从原始问题到求解特定条件下GCD=i的方案数量，利用数学技巧和容斥原理简化问题，最终通过代码实现解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给定 n 个正整数序列，每个序列长度为m。
选择至少 1 个序列，在每个被选择的序列中选择一个元素，求出所有被选择的元素的 gcd。
求所有方案的结果之和，答案对 1e9+7 取模。两种方案不同，当且仅当存在至少一个元素，在一种方案中被选择，在另一种中没有。

Input

第一行，两个正整数n，m。
接下来n 行，每行m 个正整数，第i 行代表序列。

Output

第一行，一个整数，代表答案对 1e9+7 取模的结果。
这里写图片描述

题解

问题可以转化成在 $i\in [1,10^5]$ 中，gcd=i的方案数。
在转化一下，可以先求i|gcd的方案数，
然后再来简单容斥一发。
设 $f_{i,j}$ 表示在第i个序列中，j的倍数有多少个，
那么i|gcd的方案数就是 $\Pi_{j=1}^n (f_{j,i}+1)-1$
设 $g_i$ 表示gcd=i的方案数，
那么 $g_i=\Pi_{j=1}^n (f_{j,i}+1)-1-\sum_{j=2}g_{i*j}$
这样，就倒着求g就好了。

code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string.h>
#include <cmath>
#include <math.h>
#define ll long long
#define N 200003
#define M 33
#define db double
#define P putchar
#define G getchar
using namespace std;
char ch;
void read(int &n)
{
    n=0;
    ch=G();
    while((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-')ch=G();
    ll w=1;
    if(ch=='-')w=-1,ch=G();
    while('0'<=ch && ch<='9')n=(n<<3)+(n<<1)+ch-'0',ch=G();
    n*=w;
}

const int mo=1000000007;
int n,m,a[M][N],t[N],ans,f[M][N],g[N],mx;

int add(int x,int y)
{
    return x+y>=mo?x+y-mo:x+y;
}

int main()
{
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(int j=1;j<=m;j++)
            read(a[i][j]),t[a[i][j]]++,mx=max(mx,a[i][j]);
        for(int j=1;j<=mx;j++)
            for(int k=1;k*j<=mx;k++)
                f[i][j]=f[i][j]+t[k*j];
    }

    for(int k=mx;k;k--)
    {
        g[k]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            g[k]=(ll)g[k]*(f[i][k]+1)%mo;
        g[k]=add(g[k],mo-1);
        for(int i=2;i*k<=mx;i++)
            g[k]=add(g[k],mo-g[i*k]);

        ans=add(ans,(ll)g[k]*k%mo);
    }

    printf("%d",ans);

    return 0;
}