JZOJ5384. 【NOIP2017提高A组模拟9.23】四维世界

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Polycarp从零维开始逐步构建对四维空间的理解，通过数学算法计算从点逐步扩展到正六面体的不同形态数量，特别是在缺少某些模具的情况下方案数的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

众所周知，我们常感受的世界是三维的。
Polycarp突然对四维空间产生了兴趣，他想对四维空间进行一些研究。但是在此之前，他必须先对三维世界了解透彻。
于是Polycarp决定从零维，也就是一个点，开始他的研究。我们把一个点放在三维空间中，Polycarp把这个点视为原点，并确定了三个正方向。他可以把这个点往三个方向之一拉伸一个单位，那么这个点就变为了一维的一条长度为一的线段。然后如果他把这条线段往另一方向拉伸一个单位，那么这条线就变为了二维的一个矩形。如果继续拉伸可能就会进入三维世界，也就是变为直四棱柱。
Polycarp认为矩形、线段甚至点都可以看作某一维或某几维为丰的直四棱柱。
现在Polycarp想演示把一个点一步一步拉伸为边长为n的正六面体的过程，但他缺失了m种形态的直四棱柱模具（Polycarp拥有其他的所有直四棱柱模具），他想知道共有多少种演示方案。
Polycarp的演示过程需要每拉伸一个单位时对应形态的直四棱柱。
因为方案数很大，所以输出答案对10^9+7的结果。

Input

从文件poly.in中读入数据。
第一行两个整数n;m，分别表示直四棱柱的边长和他缺失的模具数量。
接下来m行，第i行三个整数x; y; z，表示第i个缺失模具的长、宽、高。

Output

输出到文件poly.out中
一个整数，即答案。

Sample Input

2 3
1 0 1
1 1 1
0 2 0

Sample Output

题解

题目可以转化为：在一个三维的空间里面，从（0，0，0）走到（n，n，n），且不经过一些特定点的方案数。

先考虑没有任何限制的情况：方案数就3*n！。
如果有限制，那我们就减去经过这个点的方案数，即（0，0，0）走到 $（x_i，y_i，z_i）$ * $（x_i，y_i，z_i）$ 走到（n，n，n）。
这样就能够推出一个dp。

code

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include <cstring>
#include <string.h>
#include <cmath>
#include <math.h>
#define ll long long
#define N 100003
#define db double
#define P putchar
#define G getchar
#define mo 1000000007
using namespace std;
char ch;
void read(int &n)
{
    n=0;
    ch=G();
    while((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-')ch=G();
    ll w=1;
    if(ch=='-')w=-1,ch=G();
    while('0'<=ch && ch<='9')n=(n<<3)+(n<<1)+ch-'0',ch=G();
    n*=w;
}

int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}

void write(ll x)
{
     if(x>9) write(x/10);
     P(x%10+'0');
}

struct node
{
    int x,y,z;
}a[N];

int n,m;
ll jc[N*3],ny[N*3],f[N];

ll ksm(ll x,int y)
{
    ll s=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)s=s*x%mo;
        x=x*x%mo;
        y>>=1;
    }
    return s;
}

bool cmp(node a,node b)
{
    return a.x<b.x || (a.x==b.x && a.y<b.y) || (a.x==b.x && a.y==b.y && a.z<b.z);
}

ll get(int x,int y,int z)
{
    return jc[x+y+z]*ny[x]%mo*ny[y]%mo*ny[z]%mo;
}

int main()
{
    freopen("poly.in","r",stdin);
    freopen("poly.out","w",stdout);
    read(n);read(m);
    jc[0]=ny[0]=1;
    for(int i=1;i<=n*3;i++)
        jc[i]=jc[i-1]*i%mo,ny[i]=ksm(jc[i],mo-2);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        read(a[i].x),read(a[i].y),read(a[i].z);
    m++;
    a[m].x=a[m].y=a[m].z=n;

    sort(a+1,a+1+m,cmp);

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        f[i]=get(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j].x<=a[i].x && a[j].y<=a[i].y && a[j].z<=a[i].z)
                f[i]=(f[i]-f[j]*get(a[i].x-a[j].x,a[i].y-a[j].y,a[i].z-a[j].z)%mo+mo)%mo;
    }
    write(f[m]);
}