最小二乘法拟合直线

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本文介绍如何使用最小二乘法进行直线拟合，包括确定直线参数a和b的过程，并给出了相关系数r的计算方法。通过一个具体的例子展示了整个计算流程。

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曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设x和y之间的函数关系为：

y＝a+bx

式中有两个待定参数，a代表截距，b代表斜率。对于等精度测量所得到的N组数据（x_i，y_i），i＝1，2……，N，x_i值被认为是准确的，所有的误差只联系着y_i。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。

用最小二乘法估计参数时，要求观测值y_i的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，可使下式的值最小：

上式分别对a、b求偏导得：

整理后得到方程组

解上述方程组便可求得直线参数a和b的最佳估计值。

相关系数r:

最小二乘法处理数据除给出a、b外，常常还给出相关系数r, r定义为

算例：我用一篇论文中的已知数据作为算例。

计算：

代入上面推导出来的计算公式可得：

a=13.6284394650024 b=-0.0799231779033084

//最小二乘拟合计算直线的倾角  
int pointCount = pointVect.size();  
if (pointCount > 0)  
{  
    int xCount = 0;  
    int yCount = 0;  
    int xyCount = 0;  
    int xxCount = 0;  
    for (int i = 0; i< pointCount; i++)  
    {  
        xCount += pointVect.at(i).x;  
        yCount += pointVect.at(i).y;  
        xyCount += (pointVect.at(i).x * pointVect.at(i).y);  
        xxCount += (pointVect.at(i).x * pointVect.at(i).x);  
    }  
    double k = (double)(pointCount * xyCount - xCount * yCount) / (double)(pointCount * xxCount - xCount * xCount);  
    double sinValue = - k / (sqrt(1 + k * k));  
    double radian = asin(sinValue);  
        double pi = 3.1415926535;  
        double angle = radian * 180.0 / pi;  
}