【DP算法】Longest Common Subsequence - 最长公共子序列

最新推荐文章于 2024-06-24 14:19:08 发布

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分类专栏： --- C／C++ --- 数据结构与算法文章标签：动态规划算法生物

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本文介绍最长公共子序列（LCS）的概念及其在生物信息学中的应用，并详细解析了使用动态规划求解LCS问题的方法，包括问题分析、递推公式及C++实现。

最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的。

序列比对算法是生物信息学中经常使用的方法，而寻找两个序列的最长公共子序列也是其中的基础。除了暴力查找，动态规划是解决最长公共子序列的常用算法。

问题分析

假设 $Z_k=\{z_1, z_2, \cdots, z_k\}|$ 是序列 $X_m=\{x_1, x_2, \cdots, x_m\}$ 和 $Y_n=\{y_1, y_2, \cdots, y_n\}$ 的最长公共子序列。那么其中可能存在的子问题有三个：
1. $z_k=x_m=y_n$ ，则 $Z_{k-1}$ 是 $X_{m-1}$ 和 $Y_{n-1}$ 的最长公共子序列
2. $z_k\neq x_m, x_m\neq y_n$ 则 $Z_{k}$ 是 $X_{m-1}$ 和 $Y_{n}$ 的最长公共子序列
3. $z_k\neq y_n, x_m\neq y_n$ 则 $Z_{k}$ 是 $X_{m}$ 和 $Y_{n-1}$ 的最长公共子序列
由以上分析（三点均可用反证法证明），可以得到问题的递推公示：
设 $c[i][j]$ 表示序列 $X_i$ 和 $Y_i$ 的最长公共子序列的长度，则有：

c [i] [j] = ⎧ ⎩ ⎨ 0 c [i - 1] [j - 1] + 1 m a x {c [i] [j - 1], c [i - 1] [j]} i = 0 或 j = 0 i, j > 0 且 x i = y i . i, j > 0 且 x i \neq y i .

$c[i][j]=\begin{cases} 0&i=0或j=0\\ c[i-1][j-1]+1& i,j>0且x_i=y_i.\\ max\{c[i][j-1],c[i-1][j]\}& i,j>0且x_i\neq y_i. \end{cases}$

程序实现

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define NUM 1000

using namespace std;

int c[NUM][NUM];
int b[NUM][NUM];

void LCSLength(int m,int n,char x[],char y[]);
void LCS(int m,int n,char x[]);

int main(int argc, char *argv[]) {
    char x[NUM];
    char y[NUM];
    int m, n;
    scanf("%d\n", &m);
    for (int i=1; i<=m; i++)
        scanf("%c", &x[i]);
    scanf("%d\n", &n);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%c", &y[i]);
    LCSLength(m, n, x, y);
    printf("%d\n", c[m][n]);
    LCS(m,n,x);
    return 0;
}

void LCSLength(int m,int n,char x[],char y[]){
    int i,j;
    for(i = 1; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i <= m; i++) {
        for(j = 1; j <= n; j++) {
            if(x[i] == y[j]) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 1;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 3;
            }
            else {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = 2;
            }
        }
    }
}
void LCS(int i,int j,char x[]) {
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 1) {
        LCS(i-1,j-1,x);
        cout << x[i];
    }
    else if(b[i][j] == 2)
        LCS(i,j-1,x);
    else
        LCS(i-1,j,x);
}