UVA - 11149 Power of Matrix

最新推荐文章于 2024-08-13 08:42:46 发布

M_Lter

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分类专栏：数论矩阵文章标签：倍增法二分法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lidengdengter/article/details/81612341

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本文介绍了一种解决特定矩阵运算问题的方法，利用矩阵快速幂结合二分法实现高效计算。通过手写add函数避免了重复计算的问题，并提供了一个完整的C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

给定n*n的矩阵A和k，求 $sum=A^{1}+A^{2}+A^{3}+...+A^{k}$ ，直接在矩阵快速幂模板上加个手写的add函数会超时，过程中有重复计算，使用二分法：

将式子转变成 $sum=A^{1}+A^{2}+A^{3}+...+A^{\frac{k}{2}}+A^{\frac{k}{2}}(A^{1}+A^{2}+A^{3}+A^{\frac{k}{2}})$

即 $sum=(E+A^{\frac{k}{2}})(A^{1}+A^{2}+A^{3}+...+A^{\frac{k}{2}}),tmp=A^{1}+A^{2}+A^{3}+...+A^{\frac{k}{2}}$

如果n是奇数，答案还要加上 $A^{n}$ 。这题要注意格式说明，每行没有多余的空格！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=10;
//ll mod;
int N;
struct matrix{
	ll x[45][45];
};

matrix add(matrix a,matrix b){
	matrix tmp;
	memset(tmp.x,0,sizeof(tmp.x));
	for(int i=0;i<N;i++)
		for(int j=0;j<N;j++){
			tmp.x[i][j]=a.x[i][j]+b.x[i][j];
			tmp.x[i][j]%=mod;
		}
	return tmp;
}

matrix multi(matrix a,matrix b){//矩阵相乘
	matrix tmp;
	memset(tmp.x,0,sizeof(tmp.x));
	for(int i=0;i<N;i++)
		for(int j=0;j<N;j++)
			for(int k=0;k<N;k++){
				tmp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
				tmp.x[i][j]%=mod;
			}
	return tmp;
}

matrix quick_multi(matrix a,ll k){//矩阵快速幂
	matrix tmp=a;
	k--;
	while(k){
		if(k&1)
			tmp=multi(tmp,a);
		a=multi(a,a);
		k>>=1;
	}
	return tmp;
}

matrix quick_add(matrix a,int n){
	if(n==1)
		return a;
	matrix tmp,ans;
	tmp=quick_add(a,n/2);
	ans=add(tmp,multi(tmp,quick_multi(a,n/2)));
	if(n&1) ans=add(ans,quick_multi(a,n));
	return ans;
}

int main(){
	int n,k;
	while(~scanf("%d%d",&n,&k),n){
		N=n;
		matrix st;
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++){
				scanf("%d",&st.x[i][j]);
				st.x[i][j]%=mod;
			}
		matrix ans;
		memset(ans.x,0,sizeof(ans.x));
		ans=quick_add(st,k);		
		
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				printf("%d%c",ans.x[i][j],j==n-1?'\n':' ');

		printf("\n");
		
	}
	return 0;
}