Container With Most Water

最新推荐文章于 2024-08-28 08:50:09 发布

东大学子

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本文通过解析一个算法问题，阐述了如何在给定的整数序列中找到两个垂直线，使得由它们和X轴形成的容器能容纳最多的水。通过证明性质，证明了在特定条件下能够找到最优解，并提供了求解过程的详细步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container.

题目意思就不翻译了，大概是要找到条纵线然后这两条线以及X轴构成的容器能容纳最多的水。

下面以例子： [4,6,2,6,7,11,2] 来讲解。

1.首先假设我们找到能取最大容积的纵线为 i , j (假定i<j)，那么得到的最大容积 C = min( ai , aj ) * ( j- i) ；

2.下面我们看这么一条性质：

①: 在 j 的右端没有一条线会比它高！假设存在 k |( j<k && ak > aj) ，那么由 ak> aj，所以 min( ai,aj, ak) =min(ai,aj) ，所以由i, k构成的容器的容积C' = min(ai,aj ) * ( k-i) > C，与C是最值矛盾，所以得证j的后边不会有比它还高的线；

②:同理，在i的左边也不会有比它高的线；

这说明什么呢？如果我们目前得到的候选：设为 x, y两条线（x< y)，那么能够得到比它更大容积的新的两条边必然在 [x,y]区间内并且 ax' > =ax , ay'>= ay;

3.所以我们从两头向中间靠拢，同时更新候选值；在收缩区间的时候优先从 x, y中较小的边开始收缩；

证明：不妨设ax < ay， [x,y] 的收缩有以下两周

（1）[x+1,y]; (2) [x,y-1];

(1)(2)中有重叠的部分，将其划分为几个不重叠的子集

[x+1,y-1],

[k,y] (k = x+1,x+2,...),

[x,k] (k = x+1,x+2,...)

而不难证明：

min(ax,ak)*(k-x) < min(ax,ay)*(y-x) (because ax < ay)

故而此扩展是多余的，也即ax不可留，所以从小的一端收缩。

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
       int capability = 0;
	   size_t left = 0, right = height.size() - 1;
    
	   while (left < right)
	   {
            const int water =  min(height[left], height[right]) * (right - left);
            if (water > capability) capability = water;
            if (height[left] < height[right])
            {
                ++left;
            }
            else
            {
                --right;
            }
       }
        return capability;
    }
};