洛谷 P4219 [BJOI2014]大融合树链剖分

最新推荐文章于 2019-04-05 10:14:00 发布

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树链剖分

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本文介绍了一种算法，用于解决在动态构建的树形结构中查询特定边的负载问题。通过树链剖分与线段树相结合的方法，实现了高效地添加边及查询边负载的功能。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

小强要在 $N$ 个孤立的星球上建立起一套通信系统。这套通信系统就是连接 $N$ 个点的一个树。这个树的边是一条一条添加上去的。在某个时刻，一条边的负载就是它所在的当前能够联通的树上路过它的简单路径的数量。

例如，在上图中，现在一共有了 $5$ 条边。其中， $(3,8)$ 这条边的负载是 $6$ ，因为有六条简单路径 $2-3-8$ , $2-3-8-7$ , $3-8$ , $3-8-7$ , $4-3-8$ , $4-3-8-7$ 路过了 $(3,8)$ 。

现在，你的任务就是随着边的添加，动态的回答小强对于某些边的负载的询问。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含两个整数 $N, Q$ ,表示星球的数量和操作的数量。星球从 $1$ 开始编号。

接下来的 $Q$ 行，每行是如下两种格式之一：

$A\ x\ y$ 表示在 $x$ 和 $y$ 之间连一条边。保证之前 $x$ 和 $y$ 是不联通的。
$Q\ x\ y$ 表示询问 $(x,y)$ 这条边上的负载。保证 $x$ 和 $y$ 之间有一条边。
输出格式：
对每个查询操作，输出被查询的边的负载。

输入输出样例

输入样例#1：
8 6
A 2 3
A 3 4
A 3 8
A 8 7
A 6 5
Q 3 8
输出样例#1：
6
说明

对于所有数据， $1≤N,Q≤10^5$

分析：
一开始可以先离线，把边全部先插进去，连成一棵树，然后在按时间做。加一条边相当于把树上对应的边染黑，然后把深度浅的点到当前树的根的每个点加上深度大的边的子树大小，树链剖分+线段树维护即可，不要把树剖时的 $size$ 和线段树里维护的 $size$ 弄混。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const int maxn=1e5+7;

using namespace std;

int n,m,x,y,cnt1,cnt2,cnt,test;
int p[maxn],ls[maxn],size[maxn],fa[maxn],dfn[maxn],top[maxn];
char ch[5];

struct query{
    int x,y,num;
}q[maxn];

struct edge{
    int x,y,next,num;
}g[maxn*2];

struct node{
    int sum,lazy;
}t[maxn*4];

void add(int x,int y,int num)
{
    g[++cnt1]=(edge){x,y,ls[x],num};
    ls[x]=cnt1;
}

int find(int x)
{
    int y=x,root;
    while (p[x]) x=p[x];
    root=x;
    x=y;
    while (p[x])
    {
        y=p[x];
        p[x]=root;
        x=y;
    }
    return root;
}

void uni(int x,int y)
{
    int u=find(x);
    int v=find(y);
    p[v]=u;
}

void dfs1(int x,int f)
{
    size[x]=1;
    fa[x]=f;
    for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
    {
        int y=g[i].y;
        if (y==f) continue;
        dfs1(y,x);
        size[x]+=size[y];
    }
}

void dfs2(int x,int f)
{
    dfn[x]=++cnt;
    top[x]=f;
    int c=0;
    for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
    {
        int y=g[i].y;
        if (y==fa[x]) continue;
        if (size[c]<size[y]) c=y;
    }
    if (c==0) return;
    dfs2(c,f);
    for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
    {
        int y=g[i].y;
        if ((y==fa[x]) || (y==c)) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

void clean(int p,int l,int r)
{
    if (t[p].lazy)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        t[p*2].lazy+=t[p].lazy;
        t[p*2].sum+=(mid-l+1)*t[p].lazy;
        t[p*2+1].lazy+=t[p].lazy;
        t[p*2+1].sum+=(r-mid)*t[p].lazy;
        t[p].lazy=0;
    }
}

void ins(int p,int l,int r,int x,int y,int k)
{
    if ((l==x) && (r==y))
    {
        t[p].lazy+=k;
        t[p].sum+=(r-l+1)*k;
        return;
    }
    clean(p,l,r);
    int mid=(l+r)/2;
    if (y<=mid) ins(p*2,l,mid,x,y,k);
    else if (x>mid) ins(p*2+1,mid+1,r,x,y,k);
    else
    {
        ins(p*2,l,mid,x,mid,k);
        ins(p*2+1,mid+1,r,mid+1,y,k);
    }
    t[p].sum=t[p*2].sum+t[p*2+1].sum;
}

int getsum(int p,int l,int r,int x,int y)
{
    if ((l==x) && (r==y)) return t[p].sum;
    int mid=(l+r)/2;
    clean(p,l,r);
    if (y<=mid) return getsum(p*2,l,mid,x,y);
    else if (x>mid) return getsum(p*2+1,mid+1,r,x,y);
    else return getsum(p*2,l,mid,x,mid)+getsum(p*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
}

void change(int x,int y,int k)
{
    while (top[x]!=top[y])
    {
        ins(1,1,n,dfn[top[y]],dfn[y],k);
        y=fa[top[y]];
    }
    ins(1,1,n,dfn[x],dfn[y],k);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&test);
    for (int i=1;i<=test;i++)
    {
        scanf("%s",ch);
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if (ch[0]=='A')
        {
            add(x,y,i);
            add(y,x,i);
        }
        else
        {
            q[++cnt2]=(query){x,y,i};
        }
    }   
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (!size[i])
        {
            dfs1(i,0);
            dfs2(i,0);
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) ins(1,1,n,i,i,1);
    int j=1;    
    for (int i=1;i<=cnt2;i++)
    {
        int x,y,d;
        while ((g[j].num<q[i].num) && (j<=cnt1))
        {
            x=g[j].x,y=g[j].y;
            if (fa[x]==y) swap(x,y);
            uni(x,y);
            d=find(x);
            int sizey=getsum(1,1,n,dfn[y],dfn[y]);
            change(d,x,sizey);
            j+=2;
        }   
        x=q[i].x;
        y=q[i].y;
        if (fa[x]==y) swap(x,y);
        d=find(x);
        int sizeall=getsum(1,1,n,dfn[d],dfn[d]);
        int sizey=getsum(1,1,n,dfn[y],dfn[y]);
        LL ans=(LL)(sizeall-sizey)*sizey;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}