bzoj 2470: [2010中山市选]股票投资 dp

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本文介绍了一种基于动态规划的股票交易策略，旨在最大化投资收益。通过分析股票买卖规则、税费计算方式，提出了一种有效的算法来确定最佳买入和卖出时机。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

很多人都梦想成为股神，但是股票投资是需要一定基本功的。熟知股票买卖的规则就是其中一件很重要的事情。顾名思义，股票的单位是“股”；但是实际上，在公开交易市场，股票交易的单位是“手”，1手股票等于100股股票。另外，和其他商业买卖一样，股票交易是要纳税的。股票交易的税有两种，一种是交易税，一种是印花税。假设当前股价是P，你要买或者卖X手股票，那么你需要付出或者得到的钱是G=P*100*X。与此同时，无论买或者卖，你都必须支付交易税和印花税。印花税有一个固定税率T，例如0.001，则你所需支付的印花税为G*T。交易税类似印花税，也有一个固定税率S1，但同时也有一个最低税额S2，这意味着，如果G*S1＜S2，则你依然需要支付S2的税款，即你需要缴纳的税款为max（G*S1，S2）。
好了，懂得这个规则，现在你可以小试牛刀了。不过，股票市场更需要的是投资策略。问题来了，假设某个时刻T0，你拥有C元现金；接下来的n秒钟，T1，T2，…，Tn，你都清楚知道某一只股票的价格Pi。在这n秒钟，你都可以任意买入或者卖出或者持有这只股票，当然，无论什么时候，你必须保证你的现金不能出现负数，你也不可能卖出比你持有数量更多的股票。同时T，S1，S2也是已知的。在这样的情况下，第n秒结束后，你可以拥有的现金最多会是多少？

Input

输入包含多组测试数据。第一行包含一个正整数T，表示测试数据数目。每组数据开头是4个实数C(0＜C<=1,000,000), S1(0.0001＜S1＜0.01), S2(1<=S2<=100), T(0.0001＜T＜0.01)，分别代表你T0时刻开始拥有的现金，印花税率，交易税率和最低交易税额。接下来有一个整数n(0＜n<=30000)，代表我们知道后n秒钟的股票价格。最后是n个实数，代表接下来n秒钟每一秒股票的价格。

Output

对每组数据，输出一行，包含一个保留3位小数的实数，表示你能获得的最多现金。答案保证不会超过1e15。
Sample Input

5000 0.001 5 0.003

20 21 20 19 20 19

Sample Output

5332.000

这里写图片描述

勉为其难的刷了道dp题……

分析：我们设状态f[i]为在i卖掉的最大值，g[i,1]为在i买的股票数，g[i,2]为剩下的钱，答案就是f[i]的最大值。

在每一个时刻下，要不花所有钱去买股票，要不卖掉全部股票。(对于x,y为两个不同的时刻，如果两个时刻都买入，且中间没有卖出，显然会在便宜的那个时刻买入，卖出反之。这就说明了不可能连续买入(卖出)，也就是买了就只能卖出，不能再买。为了利益的最大化，肯定多买点，就是花掉所有钱去买，卖也多买点，那就是把所有卖掉= =)

考虑转移
f[i]=max(tax(g[j,0]*value)+g[j,1])
｛0＜j＜i｝

//tax(x)为x的税后价格，此时把j时刻的股票全卖掉
//f[i]初值为c

我们设q为前面的f[0]~f[i-1]最大值（显然要用尽量多的钱买股票）

//g[i,1]=p {tax(p*value)<=q p尽可能大}
//g[i,2]=q-tax(p*value)

我们得到了一个O(n^2)的dp，考虑优化，显然q是可以压掉平方的，即
q=max(q,f[i-1])

如何加快f[i]的转移呢？

显然对于前面一个价格value[j]>=value[i]，这是没有可能转移的。
怎样判断哪个最优呢？
我们设a1=g[k,1] a2=g[k,2] b1=g[l,1] b2=g[l,2] {0<=k,l<=i-1}
x=value[i]，假设a1＞b1
如果k比l优，有

a1*x+a2>b1*x+b2

化简得

x>(b2-a2)/(a1-b1)

显然a2，b2为value[k],value[l]的余数，有0<=a2，b2<=value[k],value[l]＜x
所以b2-a2＜x，而a1>b1,且为整数，所以a1-b1>=1，所以右边恒小于x。
也就是说，当a1>a2，k一定比l优。相等显然取剩余钱最多的。

加税后，正确性显然。

复杂度：O(nT)

代码：

var
 test,n:longint;
 f:array [-1..30001] of extended;
 g:array [-1..30001,1..2] of extended;
 c,s1,s2,t,value,q,p,ct,ans,g1,g2:extended;

function max(x,y:extended):extended;
 begin
  if x>y then exit(x)
         else exit(y);
 end;

function tax(x:extended;b:longint):extended;
var sum:extended;
 begin
  if x=0 then exit(0);
  sum:=x*t;
  sum:=max(s1*x,s2)+sum;
  if b=0 then exit(x-sum)
         else exit(x+sum);
 end;
procedure main;
 var i,j:longint;
begin
 readln(c,s1,s2,t);
 f[0]:=c;
 g[0,1]:=0;
 g[0,2]:=c;
 ans:=0; q:=0;
 g1:=0; g2:=0;
 readln(n);
 for i:=1 to n do
  begin
   read(value);
   value:=value*100;
   f[i]:=0; q:=max(q,f[i-1]);
   if g[i-1,1]>g1 then
    begin
     g1:=g[i-1,1];
     g2:=g[i-1,2];
    end;
   if g[i-1,1]=g1 then
     g2:=max(g2,g[i-1,2]);
   f[i]:=max(f[i],tax(g1*value,0)+g2);
   p:=trunc(q/value);
   while tax(p*value,1)>q do p:=p-1;
   g[i,1]:=p;
   g[i,2]:=q-tax(p*value,1);
   ans:=max(ans,f[i]);
  end;
 writeln(ans:0:3);
end;

begin
 readln(test);
 while test>0 do
  begin
   main;
   test:=test-1;
  end;
end.