POJ 2914 Minimum Cut （最小割模板题）

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题解：最小割模板题。

可以用网络流？不行的。枚举举汇点要$O(n$)，最短增广路最大流算法求最大流是$O(n^{2}m)$复杂度，在复杂网络中$O(m)=O(n^2)$，算法总复杂度就是$O(n^5)$；就算你用其他求最大流的算法，算法总复杂度也要$O(n^4)$。所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于$O(n^4)$。所以就要用$Stoer\_Wagner$算法。算法复杂度为$O(n^3)$。如果在$prim$中加堆优化，复杂度会降为$O(n^2{}logn)$。

讲一下，$Stoer\_Wagner$算法：
$Stoer\_Wagner$算法是求无向图全局最小割的一个有效算法，最坏时间复杂度$O(n^3)$，主要思想是先找任意$2$点的最小割，然后记录下这个最小割，再合并这$2$个点。这样经过$n-1$次寻找任意$2$点最小割，每次更新全局最小割，最后整张图缩成一个点，算法结束，所保存下来的最小割就是全局最小割。

$Stoer-Wagner$的正确性：
设$S$和$T$是图$G$的$2$个顶点，图$G$的全局最小割要么是$S-T$的最小割，此时$S$和$T$在$G$的全局最小割的$2$个不同的子集中，要么就是$G$中将$S$和$T$合并得的的新图$G'$的全局最小割，此时$S$和$T$在$G$的全局最小割的同一个子集中。所以只需要不断求出当前图中任意$2$个点的最小割，然后合并这 2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-130">2</script>个点。不断缩小图的规模求得最小割。

代码：

//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define N 500+10
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int mp[N][N];
int v[N]; // v[i]代表节点i合并到的顶点
int dis[N];//dis数组用来表示该点与A集合中所有点之间的边的长度之和
bool vis[N]; //是否已并入集合
int n,m;

int Stoer_Wagner(int n)
{
    int i, j, res = INF;
    for(i = 0; i < n; i ++)
        v[i] = i;保存顶点 ，固定顶点为自己
    while(n > 1)
    {
        //pre用来表示之前加入A集合的点
        //我们每次都以0点为第一个加入A集合的点 
        int k = 1, pre = 0;
        for(i = 1; i < n; i ++){
            dis[v[i]] = mp[v[0]][v[i]];
            if(dis[v[i]] > dis[v[k]])
                k = i;
        }
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        vis[v[0]] = true;//标记该点已经加入A集合  
        for(i = 1; i < n; i ++)
        {
            if(i == n-1)//最后一次加入的点就要更新答案
            {
                res = min(res, dis[v[k]]);
                for(j = 0; j < n; j ++) //将该点合并到pre上，相应的边权就要合并  
                {
                    mp[v[pre]][v[j]] += mp[v[j]][v[k]];
                    mp[v[j]][v[pre]] += mp[v[j]][v[k]];
                }
                v[k] = v[-- n];//删除最后一个点
            }
            vis[v[k]] = true;
            pre = k;
            k = -1;
            for(j = 1; j < n; j ++)
                if(!vis[v[j]])
                {
                    //将上次求的 k 加入集合，合并与它相邻的边到割集 
                    dis[v[j]] += mp[v[pre]][v[j]];
                    if(k == -1 || dis[v[k]] < dis[v[j]])
                        k = j;
                }
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        memset(mp, 0, sizeof(mp));
        int a, b, c;
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); //从 0 开始 
            mp[a][b] += c;
            mp[b][a] += c;
        }
        printf("%d\n", Stoer_Wagner(n));
    }
    return 0;
}