Codeforces Beta Round #8 E. Beads （数位dp）

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题意：

将所有二进制串（只允许前导 $0$）中，同时满足字典序不小于其逆序串，取反串和逆序取反串（三种都要满足）的串提出来，按字典序排序，求第$m$个。 $2<=n <= 50， 1<=m <= 10^{16}。$

题解：

显然满足题意的二进制串的首位必须是$0$。考虑一位一位地确定答案串。假设已经确定了答案串的前$k$位，我们假设第$k + 1$位是$0$，则要设法统计出满足条件的串的个数$s$。那么如果$s < m$，则答案串第$k + 1$位为$1$，同时$m = m − s$；否则答案串第$k + 1$位为$0$。于是问题转化为，统计所有长度为$n$的，前缀为$prefix$的二进制串中，满足题目要求的串的个数。这是一类与数位有关的统计问题，于是很容易想到数位dp。那么考虑$dp[ i ][ j ][ rev ][ inv ]$表示，当前已经确定了前$i$位和末$j$位，$rev$表示前$i$位与末$j$位的逆序是否相等，$inv$表示前$i$位与末$j$位的逆序取反后是否相等。状态转移比较显然，我们枚举第$i+1$位和第$n−i$位的取值，如果它满足$prefix$的限制，且新的串没有违反题目要求（可以利用$rev$和$inv$和取值判断）， 那么更新$rev$和$inv$的状态，并累加到对应的新状态上。

注意：

如果$n$为奇数，那么dp到正中间一位的时候，这一位会同时作为前$i$位和末位的组成部分，需要特判。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, a[52];  
ll k;  
bool vis[55][55][2][2];  
ll dp[55][55][2][2]; 
ll ans;
ll dfs(int l,int r,int rev,int inv)
{
    if(l>r)return 1;
    if(vis[l][r][rev][inv]==true)return dp[l][r][rev][inv];
    vis[l][r][rev][inv] =true;
    ll &ans=dp[l][r][rev][inv];
    ans = 0;
    for(int i=0;i<2;i++)
    {  
        if(a[l] == -1 || a[l] == i)
        {  
            for(int j = 0; j < 2; j++)
            {  
                if(a[r] == -1 || a[r] == j)
                {  
                    if(l < r || i == j) //特判n为奇数的时候，走到最中间的一位  
                    { 
                        if(rev || i <= j)
                        {  
                            if(inv || i <= 1 - j)
                            {  
                                ans = ans + dfs(l + 1, r - 1, rev || i < j , inv || i < 1 - j);  
                            }  
                        }  
                    }  
                }  
            }  
        }  
    }
    return ans; 
}
int main()
{
    memset(a,-1,sizeof(a));
    cin>>n>>k;
    k++;
    a[0]=0;
    if(dfs(0,n-1,0,0)<k){
        return 0*puts("-1");
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        a[i]=0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        ll cur=dfs(0,n-1,0,0);
        if(cur<k)
        {
            k -= cur;
            a[i]=1;
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cout<<a[i];
    }
    return 0;
}