【算法】08 最大流

最新推荐文章于 2023-06-12 09:41:14 发布

原创

最新推荐文章于 2023-06-12 09:41:14 发布 · 355 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#期末

本文深入探讨了最大流问题，包括网络流的定义、残存网络、增广路径、Ford-Fulkerson算法以及Edmonds-Karp算法。通过实例解释了如何在残存网络中寻找增广路径来增加流，并介绍了二分图的最大匹配及其增广路径方法，如匈牙利算法。

最大流

问题：在一个流网络里，每条边都有运载能力限制，我最多能从源头运输多少数量到目的地？

网络流

定义

G=（V，E）是一个有向图，其中每条边（u，v）有一个非负的容量值c（u，v），而且如果E中包含一条边（u，v），那么图中就不存在它的反向边。在流网络中有两个特殊的结点，源结点s和汇点t。

下面给出流网络的形式化定义。令G=（V，E）为一个流网络，其容量函数为c，设s我为网络的源点，t为汇点。G中的流是一个实值函数f，满足以下两条性质：

容量限制（capacity contraint）：对于所有的结点u，v，要求
流量守恒（flow conservation）：对于所有的非源点和汇点的结点u，要求：

如下为一个流网络示意图：

残存网络

假定有一个流网络G =（V，E），其源点为s，汇点为t，f为G中的一个流。对即诶点对u，v，定义残存容量（residual capacity），有：

残存网络可能包含图G中不存在的边，残存网络中的反向边允许算法将已经发送出来的流量发送回去。一个残存网络示例图如下：

图a是一个流网络，b是a对应的残存网络，将权重为0的边省略。

残存网络是如何增大原始流网络中的流的一种指示。如果f是G的一个流，对应的有一个残存网络，残存网络中我们可以定义一个流f’。定义函数f↑f‘，我们将其称作流f’对f的增量（augmentation）。其值 = 流量 + 残存容量 - 反向残存容量。

增广路径

给定流网络G和流f，增广路径p是残存网络中一条从源结点s到汇点t的简单路径。根据残存网络的定义，对于一条增广路径上的边（u，v），我们可以增加其流量的幅度最大为，即我们之前定义的残存容量（residual capacity）。

最大流最小分割

割：是一种点的划分方式，对于一个网络流图 G=(V,E)，设 E’ ⊆ E，若将 E’ 在 G 中删除后，使得图 G 不在连通，则称 E’ 是图 G 的割。割将所有的点划分为 S 和 T=V-S 两部分，记作：(S,T)
s-t 割：如果割所划分的两个子集使得源点 s∈S，汇点 t∈T，则该割称为 s-t 割，其中弧<u,v>|u∈S,v∈T 称为割的前向弧，弧 <u,v>| u∈T,v∈S 称为割的反向弧。
割的容量：所有前向弧的容量和，即起点在 S 终点在 T 中的所有边的容量和，记作：c(S,T) = Σc(u,v) | u∈S,v∈T
最小割：容量网络的最小割即容量最小的割。
净流量：对于一个割 (S,T)，用净流量来表示穿过割 (S,T) 的流量之和，即：|f| = f(S,T) = Σf(u,v) | u∈S,v∈T

Ford-Fulkerson算法

Ford-Fulkerson算法就是在残存网络中不断找增广路径，并将增广路径纳入到结果中；重复这个过程直到无法再找到增广路径位置。

伪代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
 
#define MAXVEX 100
#define INF 65535
 
//用于表示边的结构体
struct edge
{
   
   
	int to;//终点
	int cap;//容量
	int rev;//反向边
};
std::vector<edge>G[MAXVEX];//图的邻接表表示
bool used[MAXVEX];//DFS中用到的访问标记
 
//向图中增加一条从s到t容量为cap的边
void addEdge(int from, int to, int cap)
{
   
   
	edge e;
	e.cap = cap;e.to = to;e.rev = G[to].size();
	G[from].push_back(e);
	e.to = from; e.cap = 0; e.rev = G[from].size() - 1;
	G[to].push_back(e);
}
 
//通过DFS寻找增广路
int dfs(int v, int t, int f)
{
   
   
	if (v == t)return f;
	used[v] = true;
	for (int i = 0; i < G[v].size(); ++i)
	{
   
   
		edge &e = G[v][i];
		if (!used[e.to] && e.cap > 0)
		{
   
   
			int d = dfs(e.to, t, std::min(f, e.cap)