公比为无理数的等比数列的近似表示

     在工程上，经常能够看到公比为无理数的等比数列。如照相机相邻2级的光圈比为2的1/2次方。八度音节相邻2个半音的频率比为2的1/12次方。在天文学上，相邻2个星等的亮度差为100的1/5次方。

   我们知道，无理数是不可以表示为p/q的形式（这里p和q都是正整数）。但是，在某些情况下，并不严格要求相邻2项的比绝对相等，只要近似相等就可以了，这里我们用理数来拟合这个数列。下面给出我计算得到的公比为2的1/2,1/3,1/4,1/5的几个数列。

1. 公比为2^(1/2)

  2=(7/5) * (10/7)

    例如，数列5,7,10,14,20,28,40,56,80

 

2. 公比为2^(1/3)

  2=(50/40) * (64/50)* (80/64)

    =(50/40) * (63/50)* (80/64)

    =(204/162) * (257/204)* (327/257)

    例如，对应第2个公式的数列为40, 50 , 63 , 80,100,126

 

3. 公比为2^(1/4)

  2=(132/111) * (157/132)* (187/157)* (222/187)

 

4. 公比为2^(1/5)

  2=(510/444) * (586/510)* (673/586)* (773/673) * (888/773)