[leetcode]Factorial Trailing Zeroes

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Factorial Trailing Zeroes

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

Credits:
Special thanks to @ts for adding this problem and creating all test cases.

 

对n!做质因数分解n!=2^x*3^y*5^z*...

显然0的个数等于min(x,z)，并且min(x,z)==z

证明：

对于阶乘而言，也就是1*2*3*...*n
[n/k]代表1~n中能被k整除的个数
那么很显然
[n/2] > [n/5] (左边是逢2增1，右边是逢5增1)
[n/2^2] > [n/5^2](左边是逢4增1，右边是逢25增1)
……
[n/2^p] > [n/5^p](左边是逢2^p增1，右边是逢5^p增1)
随着幂次p的上升，出现2^p的概率会远大于出现5^p的概率。
因此左边的加和一定大于右边的加和，也就是n!质因数分解中，2的次幂一定大于5的次幂

 

解法一：

从1到n中提取所有的5

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int ret = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
        {
            int tmp = i;
            while(tmp%5 == 0)
            {
                ret ++;
                tmp /= 5;
            }
        }
        return ret;
    }
};

 

解法二：

由上述分析可以看出，起作用的只有被5整除的那些数。能不能只对这些数进行计数呢？

存在这样的规律：[n/k]代表1~n中能被k整除的个数。

因此解法一可以转化为解法二

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int ret = 0;
        while(n)
        {
            ret += n/5;
            n /= 5;
        }
        return ret;
    }
};

推酷网址：http://www.tuicool.com/articles/RZZnQf

题目描述：

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in polynomial time complexity.

题目大意：

给定一个整数n，返回n!（n的阶乘）数字中的后缀0的个数。

注意：你的解法应该满足多项式时间复杂度。

解题思路：

参考博文：http://www.geeksforgeeks.org/count-trailing-zeroes-factorial-number/

朴素解法：

首先求出n!，然后计算末尾0的个数。（重复÷10，直到余数非0）

该解法在输入的数字稍大时就会导致阶乘得数溢出，不足取。

O（logn）解法：

一个更聪明的解法是：考虑n!的质数因子。后缀0总是由质因子2和质因子5相乘得来的。如果我们可以计数2和5的个数，问题就解决了。考虑下面的例子：

n = 5: 5!的质因子中 (2 * 2 * 2 * 3 * 5)包含一个5和三个2。因而后缀0的个数是1。

n = 11: 11!的质因子中(2^8 * 3^4 * 5^2 * 7)包含两个5和三个2。于是后缀0的个数就是2。

我们很容易观察到质因子中2的个数总是大于等于5的个数。因此只要计数5的个数就可以了。那么怎样计算n!的质因子中所有5的个数呢？一个简单的方法是计算floor(n/5)。例如，7!有一个5，10!有两个5。除此之外，还有一件事情要考虑。诸如25，125之类的数字有不止一个5。例如，如果我们考虑28!，我们得到一个额外的5，并且0的总数变成了6。处理这个问题也很简单，首先对n÷5，移除所有的单个5，然后÷25，移除额外的5，以此类推。下面是归纳出的计算后缀0的公式。

n!后缀0的个数 = n!质因子中5的个数
              = floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ....

Python代码：

class Solution:
  # @return an integer
  def trailingZeroes(self, n):
    x = 5
    ans = 0
    while n >= x:
      ans += n / x
      x *= 5
    return ans