FFT BZOJ3527 [Zjoi2014]力

最新推荐文章于 2018-01-26 10:17:28 发布

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分类专栏： FFT 文章标签： fft 数学

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本文介绍了一种使用快速傅里叶变换（FFT）解决特定类型数学问题的方法。通过将复杂的公式转化为卷积形式，并利用FFT进行高效计算，文章提供了一个具体的实例来说明如何构造多项式并实现算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

FFT BZOJ3527 [Zjoi2014]力

题意：给定一个公式求其值

思路：将该公式转化为卷积形式，然后用FFT求解

具体的多项式可以这样构造
q[1] q[2] q[3] q[4] ….. 0 0 0（共2*n-1项，没有q的补零）
-1/(n-1)^2 -1/(n-2)^2 …. -1/(1)^2 0 1/1^2 1/2^2 …. 1/(n-1)^2
具体的可以参考博客，里面有一个具体的例子从多项式乘法到快速傅里叶变换

// 3527 [Zjoi2014]力
//FFT 数学
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<complex>
#include<queue>
#define debug //
using namespace std;
const int maxn=100000*8+10;
typedef long long LL;
typedef complex<double> CD;
const double PI=acos(-1.0);

void BitReverse(CD a[],int n)
{
    for(int i=0,j=0;i<n;i++){
        if(j>i) swap(a[i],a[j]);
        int k=n;
        while(j&(k>>=1))    j&=~k;
        j|=k;
    }
}

void FFT(CD a[],int n,bool reverse)
{
    BitReverse(a,n);
    const double pi=reverse?PI:-PI;
    for(int step=1;step<n;step<<=1){
        double alpha=pi/step;
        for(int k=0;k<step;k++){
            CD wnk=exp(CD(0.0,alpha*k));
            for(int i=k;i<n;i+=step<<1){
                int j=i+step;
                CD tmp=wnk*a[j];
                a[j]=a[i]-tmp;
                a[i]+=tmp;
            }
        }
    }
    if(reverse){
        for(int i=0;i<n;i++){
            a[i]/=n;
        }
    }
}
CD A[maxn],B[maxn];
double q[maxn];
int n;
void solve()
{
    //pre init
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%lf",&q[i]);
    }
    //after init
    fill(A,A+maxn,CD(0.0,0.0));
    fill(B,B+maxn,CD(0.0,0.0));

    for(int i=0;i<n;i++){
        A[i]=CD(q[i],0.0);
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        double tmp=1LL*(n-i-1LL)*(n-i-1LL);
        tmp=1.0/tmp;
        B[i]=CD(-tmp,0.0);
        B[2*n-2-i]=CD(tmp,0.0);
    }
    for(int i=0;i<2*n;i++){
        debug("%d %0.3lf\n",i,B[i].real());
    }
    int tmp=n*4-3;
    int len=1;
    while(len<tmp)  len<<=1;
    FFT(A,len,false);
    FFT(B,len,false);
    for(int i=0;i<len;i++){
        A[i]*=B[i];
    }
    FFT(A,len,true);
    for(int i=0;i<len;i++){
        debug("%0.3lf\n",A[i].real());
    }
    for(int i=n-1;i<2*n-1;i++){
        printf("%0.3lf\n",A[i].real());
    }
}

int main()
{
    solve();
    return 0;
}