VIJOS 1371 方程的解

最新推荐文章于 2019-07-30 09:48:00 发布

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#VIJOS #数学数论 #快速幂

本文探讨了一类特殊的不定方程A1+A2+...+Ak=g(x)的正整数解组数问题，其中g(x)=x^x mod 1000。通过隔板法和高精度计算技巧，如快速幂和组合数学中的递推公式C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n,m-1)，解决了该问题。

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描述

对于不定方程A1+A2+.....+Ak-1+Ak=g(x) ，其中k>=2 x是正整数,g(x)=x^x mod 1000 ,x,k是给定的数.我们要求的是这个不定方程的正整数解组数.
举例来说,当k=3,x=2时,g(x)=4,原方程即A1+A2+A3=4.
这个方程的正整数解有3组.分别为 =（2，1，1），（1，2，1），（1，1，2）.

格式

输入格式

只有一行.为用空格隔开的两个正整数,依次为k,x.

输出格式

只有一行,为方程的正整数解组数.

样例

样例输入

3 2

样例输出

限制

各个测试点1s

提示

对于40%的数据, ans<=10^16;
对于100%的数据, k<=100,x<=2^31-1,k<=g(x).

来源

hyc

一看范围 x^x x<=2^31-1 需要用到快速幂

机房的小伙伴写搓了我们都形象的称他写的为龟速幂偷笑ing

a1+a2+...+an=g(x)

采用隔板法。。 = =

相当于g(x)个果子排成一排

中间有g(x)-1个空

放入n-1个板子将它们分成n份

那么第i份对应的就是ai

有多少种放法呢？

C(n-1,g(x)-1)种

~~需要用到高精度乘除~~

只需要高精度加减

C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n,m-1)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mod=1000;
int f[111][1111][35];
bool flag[111][1111];
int m,n,a,b;
int z[55];

void print(int s[35])
{
    int a;
    for(a=30;a>1;a--)if(s[a])break;
    cout<<s[a];
    a--;
    while(a>0)
    {
        if(s[a]<10000000)cout<<'0';
        if(s[a]<1000000)cout<<'0';
        if(s[a]<100000)cout<<'0';
        if(s[a]<10000)cout<<'0';
        if(s[a]<1000)cout<<'0';
        if(s[a]<100)cout<<'0';
        if(s[a]<10)cout<<'0';
        cout<<s[a];
        a--;
    }
    cout<<'\n';
}

void jinwei(int s[35])
{
    for(int a=1;a<=30;a++)
    if(s[a]>99999999)
    {
        s[a+1]=s[a+1]+s[a]/100000000;
        s[a]%=100000000;
    }
}

void c(int n,int m,int s[35])//C(n,m)
{
    if(m<n||n<0||m<0)return;
    if(flag[n][m])
    {
        for(int a=1;a<=30;a++)s[a]+=f[n][m][a];
        jinwei(s);
        return;
    }

    if(n==0||n==m)
    {
        flag[n][m]=1;
        f[n][m][1]=1;
        s[1]++;
        jinwei(s);
        return;
    }
    if(n==1||n==m-1)
    {
        flag[n][m]=1;
        f[n][m][1]=m;
        s[1]+=m;
        jinwei(s);
        return;
    }

    flag[n][m]=1;
    c(n-1,m-1,f[n][m]);
    c(n,m-1,f[n][m]);
    for(int a=1;a<=30;a++)s[a]+=f[n][m][a];
    jinwei(s);
}

int quick(int i)
{
    i%=mod;
    int ret=1,s=i;
    while(i)
    {
        if(i&1)ret=(ret*s)%mod;
        s=(s*s)%mod;
        i/=2;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int mm=quick(m);
    for(a=0;a<=1000;a++)
    {
        flag[0][a]=1;
        f[0][a][1]=1;
    }
    c(n-1,mm-1,z);
    print(z);
    return 0;
}