随机取样问题

 

随机取样问题，在《计算机程序设计艺术》(volume 2 chapter 3)中得到了详细的讲解，关于该问题的详细探讨可以翻阅该书相应章节。

随机取样问题可以分为：

1、             确定数目元素的随机取样，可以表述为：从N个元素中获得K个相异且随机的元素。

2、             不确定数目元素的随机取样，可以表述为：从一个数据流中获得k个相异且随机的元素。

其实第二个问题包含着第一个问题，我们只要探讨第二个问题即可，我直接给出下面的算法吧，首先要注意取样问题的描述：“k个”“相异”“随机”，代码如下：

                T* random_sample(stream s, int k)

{

      T* rand_list=new T[k];

      int i=k;

      s.open();

      /*store first k elements in stream*/

      while(k-->=0)

            rand_list[i]=s.next();

      i=k;

      while(!s.end())

      {

            i++;

            int idx=rand(0, i-1);//create random number [0, i-1]

            if(idx<=k-1)//[0,k-1]

                  rand_list[idx]=s.next();

      }

}

下面对其正确性进行证明，正确性应该保证“k个”“相异”“随机”，前两个条件显然成立，开始状态前两个状态就成立，函数执行过程中，每次替换的元素都不相同（我们认为在stream中不同位置的元素不同），对于“随机”的证明可以使用数学归纳法进行：

                待证明问题，对于任意n>=k，经过上述方法后，得到的结果中任何一个元素出现的概率均为k/n。

1、 当n=k时，rand_list[]中存储前k个元素，p=k/n=k/k=1成立。

2、 假设当n=i时，命题成立：i个元素出现在rand_list[]中的概率为k/i。

当n=i+1时，执行上述算法，我们只关注最后一步：对于第i+1个元素的操作。

对第i+1个元素执行上述算法之前，对于前i个元素中任意一个元素，它们在rand_list[]中出现的概率为k/i，我们以k/(i+1)的概率去替换rand_list[]中的元素，前i个元素中任意一个元素被替换的概率为：

        k(1/i) * ( 1/(i+1))

前i个元素中任意一个元素最终被取到的概率：

        k/I - k(1/i) * ( 1/(i+1)) = k/(i+1)

对于第i+1个元素，它被取到的概率可以直接计算得到：

        P(i+1)=k/(i+1)

所以当n=i+1时，上述命题也成立。

下面给两个相关的题目：

1、 给定一个未知长度的整数流，如何随机选取一个数

2、 给定一个数据流，其中包含无穷尽的搜索关键字（比如，人们在谷歌搜索时不断输入的关键字）。如何才能从这个无穷尽的流中随机的选取1000个关键字？