DP：炮兵排阵

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#算法 #input #output #优化 #user #工作

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炮兵阵地

Time Limit: 2000MS		Memory Limit: 65536K
Total Submissions: 12738		Accepted: 4645

Description

司令部的将军们打算在N*M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用"H" 表示），也可能是平原（用"P"表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示：

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。
现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。

Input

第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M；
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符('P'或者'H')，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100；M <= 10。

Output

仅一行，包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

Sample Input

5 4
PHPP
PPHH
PPPP
PHPP
PHHP

Sample Output

分析一盲目搜索

    初学者一般看到此题估计会无从着手。如果用“万能”的搜索算法，回溯或者枚举所有的状态来求解的话，那算法复杂度将是O(2^(m*n))。
    又考虑到m<=10,n<=100,这将是个及其恐怖的工作。
    大家知道凡是指数级的算法一般不能作用于较大数据的运算。

分析二动态规划

    观察地图，对于任何一行的炮兵放置都与其上下几行的放置有关。如果我们逐行的放置炮兵，并且每次都知道前面每行所有放置法的最优解（即最大炮兵数），那么我们要求放置到当行时某种放置法的最优解，就可以枚举前面与其兼容（即不会发生冲突）的所有放置法，从中求得本行的最优解。
    那么就可以把N*M行的最优解装换成了(N-1)*M行的最优解。此算法的基础在于，每行的状态（炮兵放置情况）只与前几行的状态有关。
    这满足最优子问题和无后效性的性质，因此可以使用动态规划求解。
    最优子问题大家都知道。无后效性就是指最优解只与状态有关，而与到达这种状态的路径无关。
    此问题的状态就是指该行的炮兵放置法

动态方程

    f[i][j][k] = max{f[i-1][k][p]+c[j]},(枚举p的每种状态)
    f[i][j][k]表示第i行状态为s[j],第i-1行状态为s[k]的最大炮兵数,且s[j],s[k],s[p]及地形之间互不冲突
    算法复杂度：O(N*S*S*S),N为行数，S为总状态数

问题如何描述

    好了，思路大致都准备好了。但如何描述问题呢？
    动态规划的关键就在于如何描述状态。如何用二进制串表示状态的话，那么在代码中表示起来将很复杂，不利于编写代码。
    怎么办？

状态压缩

    现在引入最关键的感念，状态压缩
    我们把一个二进制串的相应十进制数称为该二进制串的压缩码，这就将一个二进制串压缩为一个简单的十进制状态。
    伴随着这个概念而来的是其相应的位运算，&, |, !，<<, >>等。

相关运算

我们现在就可以用与运算&判断两个压缩状态间、压缩状态与压缩地图间是否冲突。
用移位运算>>和求余运算%计算压缩状态所包含的炮兵数

困惑？

现在似乎大功告成了，但是所写的代码提交运行结果为，Time Limit Exceed，即超时。
为什么呢？

复杂度解析

    看看题目条件吧！Time Limit: 2000MS    Memory Limit:65536K
    我们采用压缩二进制方式来表示一行的所有状态，那么会有每行会有2^10即1024个状态。因此在最坏情况下（M＝10，N＝100，所有地点都是平原），会将扫描100*1024*1024*1024（10^11，远远超过2S），因此不可取。
    O(N*S*S*S)不可取么？

算法加速

    不！
    仔细分析，状态数S真的是2^10么？
    显然，有些是伪状态，自身就是个矛盾体。那么可以提前摒弃这些伪状态。记过计算，单独一行（10列）的合法状态数只有60个！！

求合法状态的代码段

    sNum = 0; //合法状态总数
    for ( int k = 0; k < (1<<column); k++ ){
        int m = k;
        //判断该状态是否合法
        if ( ( (m<<1)&k ) || ( (m<<2)&k ) )
             continue;
        //该合法状态数包含的炮兵数
        c[sNum] = m%2;
        while ( m = (m>>1) ) c[sNum] += m%2;
        s[sNum++] = k;   //合法状态数
    }

优化

    考虑到本行最优解f[i][j][k]只与前一行f[i-1][k][p]有关，也就是说每次计算只需要前一行的最优解就可以了。
    那只用申请f[2][61][61]的内存,就可以实现该算法，而非f[100][61][61],更非f[100][1025][1025]。
    可是，如果用向量f[0]表示当前行的最优解，向量f[1]表示前一行的最优解,那每次迭代计算时岂不是又要交换两个向量的值？

滚动数组

    借助滚动数组技术，可以轻松实现这个转换！
    引入迭代坐标roll，向量f[roll]指向当前行，计算f[roll]时，f[(roll+1)%2]指向前一行，计算结束后，令roll = (roll+1)%2，就可以实现行转换了。
    我们只要初始roll = 0即可，运算结束时，我们不必知道roll的值，但roll必然指向待计算的那行，(roll+1)%2指向最终结果所在行。

运行结果

Problem: 1185      User: new_star
Memory: 316K     Time: 235MS
Language: G++     Result: Accepted

小结

    1.最优子结构和无后效性
    2.压缩状态的动态规划
    3.位运算
    4.滚动数组

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;      //注意一行最多两个炮兵
int a[101];
int n,m;
int status[101];
int num[101];
int status_num;
int f[2][61][61];   //为了减少占用空间，用滚动数组来实现，i代表行，j代表第i行为状态s[j]，k代表第i-1行为状态s[k]
int ToInt(char buf[])
{
	int i;
	int result = 0;
	for (i = 0;i < m;i++)
		result = result * 2 + (buf[i] == 'H');
	return result;
}
void Input()
{
	char buf[1001];
	int i;
	for (i = 1;i <= n;i++)
	{
		scanf("%s",buf);
		a[i] = ToInt(buf);//a[i]为第i行二进制码，一为H，0为P
	}
}
void GetAllStatus() //得到一行所有的有效状态（这个数量对每行都有效）
{
	int i;
	int temp;
	status_num = 0; //合法状态的数量
	for (i = 0;i < (1 << m);i++)
	{
		temp = i;//temp是一串二进制编码状态压缩后的十进制数，编码中1为此地有炮兵，0为没有
		if (temp & (temp << 1) || temp & (temp << 2)) continue;//编码左移1位或2位和原先求与不为0，则说明有炮兵只隔1位或2位不合法
		status[++status_num] = i;//第status_num种状态的二进制编码
		num[status_num] = 0;//此种状态所含的炮兵数
		while (temp > 0)
		{
			num[status_num] += temp % 2;
			temp /= 2;
		}
	}
}
void Init()
{
	GetAllStatus();
	memset(f,0,sizeof(f));
}
void Compute()
{
	int i,j,k,p,now;
	now = 0;
	for (i = 1;i <= status_num;i++)//第一行的情况
		if (status[i] & a[1])
			f[now][i][0] = 0;
		else
			f[now][i][0] = num[i];
	for (p = 2;p <= n;p++)//表示真正遍历的行号
	{
		now = 1 - now;//滚动数组，也可以用now = (now + 1) % 2实现，010101...这样变换
		for (i = 1;i <= status_num;i++)//本行状态
			for (j = 1;j <= status_num;j++)//上一行状态
			{
				if (status[i] & a[p] || status[i] & status[j])//不合法：炮兵在山地上，或与上一行能互相打到
					f[now][i][j] = 0;
				else
				{
					if (p == 2)
					{
						f[now][i][j] = num[i] + f[1 - now][j][0];
					}
					else
					{
						for (k = 1;k <= status_num;k++)//如果本行行数大于2，那就还要对上上行的状态进行遍历
							if (status[i] & status[k])
								continue;
							else
								f[now][i][j] = max(f[now][i][j],f[1 - now][j][k] + num[i]);
					}
				}
			}
	}
	int result = 0;
	for (i = 1;i <= status_num;i++)
		for (j = 1;j <= status_num;j++)
		{
			if (n == 1)//表示全部只有一行
				result = max(result,f[now][i][0]);
			else
				result = max(result,f[now][i][j]);
		}
	cout << result << endl;
}
int main()
{
	while (cin >> n >> m)
	{
		Input();
		Init();
		Compute();
	}
	return 0;
}