最大子数组和

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问题描述：

给定一个整数数组a[0~n]，求数组a的子数组，使其元素和为最大。

问题分析：

方法一：可以用普通的方法枚举所有的子数组，然后求出最大的子数组和，时间复杂度为O(n*n)。

方法二：问题描述符合动态规划最优子结构的要求。

设b[i]表示以a[i]结尾的子数组的最大子段和，即：

b[i]=max{sum(a[j~k])},其中0<=j<=i，j<=k<=i。

因此对于数组a[0~n]的最大字段和为max{b[i]}，其中0<=i<n。

在计算b[i]时，可以考虑以下三种情况：

1，b[i] = b[i-1]+a[i]，当b[i-1]>0时，这时候的b[i]中包含a[i]。

2，b[i] = a[i]，当b[i-1]<=0，这时候以a[i]重新作为b[i]的起点。

3，b[i]不包含a[i]的情况，这种情况在计算b[i]之前已经计算处结果，保存在b[0~i-1]中。最后计算max{b[i]}时会考虑到。

b[i] = max{ b[i-1]+a[i]，a[i]}。

而数组a[0~n]则为max{b[i]}。

在实现时，可以省略数组b[i]。实现如下：

view plain print ?

1. 1 #include <iostream>  
2.  2 using namespace std;  
3.  3 #define N 10   
4.  4 int max_sub_array(int &s,int &e,int * a)  
5.  5 {  
6.  6         int i=0;  
7.  7         int j =0;  
8.  8         int b,start,end;  
9.  9         int sum = 0;  
10. 10         sum = b = a[0];  
11. 11         s = e = start = end = 0;//s和e是整个数组a[0~n]的最大子段的起末位置。start和end是数组a[0~i]的起末位置。  
12. 12         for(i = 1;i<N;i++)  
13. 13         {  
14. 14                 if(b>0)  
15. 15                 {  
16. 16                         b = b + a[i];  
17. 17                         end = i;  
18. 18                 }  
19. 19                 else  
20. 20                 {  
21. 21                         b = a[i];  
22. 22                         start = end = i;  
23. 23                 }  
24. 24                 if(sum<b)  
25. 25                 {  
26. 26                         sum = b;  
27. 27                         s = start;  
28. 28                         e = end;  
29. 29                 }  
30. 30         }  
31. 31         return sum;  
32. 32 }  
33. 33 int main()  
34. 34 {  
35. 35         int a[N]={31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};  
36. 36         int start,end;  
37. 37         int sum = max_sub_array(start,end,a);  
38. 38         cout << sum << "  "<<start<< " "<<end<< endl;  
39. 39 }