【Leetcode】553. Optimal Division 553. 最优除法_leetcode 553 最优除法-优快云博客

本文探讨了如何从一组整数中找到能产生最大结果的除法链，并提供了两种解法。一是使用记忆化搜索的动态规划方法，二是通过数学证明得出的直接解法。直接解法证明了在所有可能的除法链中，特定形式的链总能产生最大结果。

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解法

解法一：记忆化搜索

就是从上再下的DP

class Solution(object):
    def optimalDivision(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: str
        """
        n = len(nums)
        mem = {}
        split = {}
        def solve(i,j,ismax):
            if (i,j,ismax) not in mem:
                if j-i==1:
                    return nums[i]
                res = None
                s = None
                for k in xrange(i+1,j):
                    if ismax:
                        t = 1.0*solve(i,k,True)/solve(k,j,False)
                        if res == None or res<t:
                            res = t
                            s = k
                    else:
                        t = 1.0*solve(i,k,False)/solve(k,j,True)
                        if res == None or res>t:
                            res = t
                            s = k
                mem[(i,j,ismax)] = res
                split[(i,j,ismax)] = s
            return mem[(i,j,ismax)]
        solve(0,n,True)
        def GetAns(i,j,ismax):
            if j-i==1:
                return str(nums[i])
            k = split[(i,j,ismax)]
            return "%s/%s" % (GetAns(i,k,ismax),nums[k] if k==j-1 else "(%s)" % GetAns(k,j,not ismax))
        return GetAns(0,n,True)

解法二：数学

可以证明，给a/b/c/d/……加括号，永远是a/(b/c/d……)最大

n=1时，显然成立
当n<k成立，令数组为 $a_1,a_2,...,a_k$ ，令 $a_i,a_j]$ 表示 $a_i/a_{i+1}/.../a_j$ 。
假设最后一步除法放在 $a_{t-1}$ 和 $a_t$ 之间。
首先，由于n<k时规律成立，所以 $a_1,a_{t-1}]/a_t/a_{t+1}/.../a_k$ 的最大值肯定是 $a_1/[a_2,a_{t-1}])/[a_t,a_k]$
问题变成要证明在不同的t取值时，t=2是最大的取值
- t=2时，表达式为 $a1[a2,ak]\frac{a_1}{[a_2,a_k]}$
- t>2时，表达式为 $a1[a2,at−1]∗[at,ak]\frac{a_1}{[a_2,a_{t-1}]*[a_t,a_k]}$
  将两者作商： $a1[a2,at−1]∗[at,ak]×[a2,ak]a1=∏i=t+1kaiat∗∏i=tkai=1at∗at≤1\frac{a_1}{[a_2,a_{t-1}]*[a_t,a_k]}\times\frac{[a_2,a_k]}{a_1}=\frac{\prod_{i=t+1}^ka_i}{a_t*\prod_{i=t}^ka_i}=\frac{1}{a_t*a_t}\le 1$ ，所以t=2时是最大，得证。

class Solution(object):
    def optimalDivision(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: str
        """
        n = len(nums)
        if n<=2:
            return "/".join(map(str,nums))
        return "%d/(%s)" % (nums[0],"/".join(map(str,nums[1:])))