反素数

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#反素数

定义

对于任意正整数n，其约数个数为f(n)，例如6的约数有1、2、3、6，所以f(6)=4。

对于任意正整数i(0<i<n),都有f(i)<f(n)，则称n为反素数。

常见问题

1.给出约数个数n，求出约束个数为n的最小整数x。

2.给出正整数n，求1～n中约束个数最多的数。

性质

1.一个反素数的因子一定是从2开始的连续质数，必须保证约数个数相同时n越小。

比如6=2*3、10=2*5约数个数都是2，6比10小。

2. $n=2^{c1}*3^{c2}*5^{c3}......$ ,必有 $c1\geq c2\geq c3$ 。

需要具备知识

1.任何一个合数都可以由质数的乘积表示。

2.一般我们只用到前16个质数，这16个质数乘积已经非常大了。

int p[16] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};

例题

51nod 1060 最复杂的数

题意很明确，给出正整数n，求1～n中约束个数最多的数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull res,ans;
ull N;
ull pri[16]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};
void dfs(ull cur,ull num,ull key,ull pre)//当前值、当前约数个数、当前深度、上一个数
{
    if(key >= 16)
        return;
    if(num > ans)
    {
        res=cur;
        ans=num;
    }
    if(num == ans)
        res = min(cur,res);
    for(ull i = 1;i <= pre;i++)
    {
        if(N / pri[key] < cur)
            break;
        cur*=pri[key];
        dfs(cur,num*(i+1),key+1,i);
    }
    
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&N);
        res=1;
        ans=1;
        dfs(1,1,0,15);
        printf("%lld %lld\n",res,ans);
    }
    return 0;
}