#1287 : 数论一·Miller-Rabin质数测试--511186 质数检测 V2质数检测----【Miller-Rabin质数测试】

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本文介绍了一种高效的质数测试方法——Miller-Rabin质数测试，并提供了C++及Java两种语言的实现代码。该方法适用于检测大数值是否为质数，通过随机选取的基数进行多次测试以提高准确率。

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#1287 : 数论一·Miller-Rabin质数测试

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描述

小Hi和小Ho最近突然对密码学产生了兴趣，其中有个叫RSA的公钥密码算法。RSA算法的计算过程中，需要找一些很大的质数。

小Ho：要如何来找出足够大的质数呢？

小Hi：我倒是有一个想法，我们可以先随机一个特别大的初始奇数，然后检查它是不是质数，如果不是就找比它大2的数，一直重复，直到找到一个质数为止。

小Ho：这样好像可行，那我就这么办吧。

过了一会儿，小Ho拿来了一张写满数字的纸条。

小Ho：我用程序随机生成了一些初始数字，但是要求解它们是不是质数太花时间了。

小Hi：你是怎么做的啊？

说着小Hi接过了小Ho的纸条。

小Ho：比如说我要检测数字n是不是质数吧，我就从2开始枚举，一直到sqrt(n)，看能否被n整除。

小Hi：那就对了。你看纸条上很多数字都是在15、16位左右，就算开方之后，也有7、8位的数字。对于这样大一个数字的循环，显然会很花费时间。

小Ho：那有什么更快速的方法么？

小Hi：当然有了，有一种叫做Miller-Rabin质数测试的算法，可以很快的判定一个大数是否是质数。

提示：Miller-Rabin质数测试

输入

第1行：1个正整数t，表示数字的个数，10≤t≤50

第2..t+1行：每行1个正整数，第i+1行表示正整数a[i]，2≤a[i]≤10^18

输出

第1..t行：每行1个字符串，若a[i]为质数，第i行输出"Yes"，否则输出"No"

样例输入

样例输出

Yes
Yes
No

c++ 代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
LL cheng(LL a,LL b,LL mod)
{
    int ch[40]={0},ch2[40]={0};
    int lp1=0,lp2,ge;
    while (a)
    {
        ch[lp1++]=a%10;
        a/=10;
    }
    lp2=0;
    while (b)
    {
        ge=b%10;
        for (int i=lp2;i<lp2+lp1;i++)
        {
            ch2[i]=ch2[i]+ch[i-lp2]*ge;
            if (ch2[i]>9)
            {
                ch2[i+1]+=ch2[i]/10;
                ch2[i]%=10;
            }
        }
        b/=10;
        lp2++;
    }
    LL ans=0;
    for (int i=39;i>=0;i--)
    {
        ans=(ans*10+ch2[i])%mod;
    }
    return ans;
}
LL pp(LL a,LL n,LL mod)
{
    LL s=1,lp=a;
    while (n)
    {
        if (n%2)
        {
            s=cheng(s,lp,mod);
        }
        lp=cheng(lp,lp,mod);
        n/=2;
    }
    return s;
}
bool pan(LL a,LL n)
{
    if (n<2) return false;
    if (n==2) return true;
    if ((n&1)==0) return false;
    LL u=n-1;if (u<=a) return true;
    while (!(u&1)) u>>=1;
    LL t=pp(a,u,n);
    while ((u!=n-1)&&(t!=1)&&(t!=n-1))
    {
        t=cheng(t,t,n);
        u<<=1;
    }
    return (t==n-1||(u&1)==1);
}
int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    LL a;LL shu[25]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97};
    while (t--)
    {
        bool fafe=true;
        scanf("%lld",&a);
        for (int i=0;i<12;i++)
        {
            fafe=pan(shu[i],a);
            if (!fafe) break;
        }
        printf("%s\n",fafe?"Yes":"No");
    }
    return 0;
}

1186 质数检测 V2

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题

关注

给出1个正整数N，检测N是否为质数。如果是，输出"Yes"，否则输出"No"。

Input

输入一个数N(2 <= N <= 10^30)

Output

如果N为质数，输出"Yes"，否则输出"No"。

Input示例

Output示例

Yes

java版：

import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main{
	public static BigInteger  pp(int a,BigInteger n,BigInteger mo)
	{
		BigInteger s,lp,tw;
		tw=BigInteger.valueOf(2);
		s=BigInteger.ONE;
		lp=BigInteger.valueOf(a);
	    while (n.compareTo(BigInteger.ZERO)!=0)
	    {
	        if ((n.remainder(tw)).compareTo(BigInteger.ONE)==0)
	        {
	        	s=s.multiply(lp);
	        	s=s.remainder(mo);
	        }
	        lp=lp.multiply(lp);
	        lp=lp.remainder(mo);
	        n=n.divide(tw);
	    }
	    return s;
	}
	
	public static int pan(int a,BigInteger n)
	{
		
		if (n.compareTo(BigInteger.ONE.add(BigInteger.ONE))==0) return 1;
		BigInteger tw = BigInteger.ONE.add(BigInteger.ONE);
	    if (n.remainder(tw).compareTo(BigInteger.ZERO)==0) return 0;
	    BigInteger u;
	    u=n.subtract(BigInteger.ONE);
	    BigInteger aa=BigInteger.valueOf(a);
	    if (!(u.compareTo(aa)==1)) return 1;
	    while ((u.remainder(tw).compareTo(BigInteger.ZERO))==0) 
	    	u=u.divide(tw);
	    BigInteger t=pp(a,u,n);
	    while ((u.compareTo(n.subtract(BigInteger.ONE))!=0)&&(t.compareTo(BigInteger.ONE)!=0)&&(t.compareTo(n.subtract(BigInteger.ONE))!=0))
	    {
	        t=(t.multiply(t)).remainder(n);
	        u=u.multiply(tw);
	    }
	    
	    if  ( (t.compareTo(n.subtract(BigInteger.ONE))==0)||(  (u.remainder(tw)).compareTo(BigInteger.ONE)==0  )) return 1;
	    return 0;
	}
	
	
	public static void main(String args[]){
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		BigInteger n;
		int fafe;
		int shu[] = new int[25];
		shu[0]=2;shu[1]=3;shu[2]=5;shu[3]=7;shu[4]=11;shu[5]=13;shu[6]=17;shu[7]=19;shu[8]=23;shu[9]=29;shu[10]=31;shu[11]=37;shu[12]=41;
		shu[13]=43;shu[14]=47;shu[15]=53;shu[16]=59;shu[17]=61;shu[18]=67;shu[19]=71;shu[20]=73;shu[21]=79;shu[22]=83;shu[23]=89;shu[24]=97;
			n=cin.nextBigInteger();
			fafe=1;
			for (int i=0;i<25;i++)
			{
				fafe=pan(shu[i],n);
				if(fafe==0)
					break;
			}
			
			if (fafe==1)
				System.out.println("Yes");
			else
				System.out.println("No");
	}
}