<think>我们正在解决“无重复字符的最长子串”问题，使用动态规划方法。问题描述：给定一个字符串，找出其中不含有重复字符的最长子串的长度。动态规划思路：定义状态：dp[i]表示以第i个字符结尾的最长无重复子串的长度。注意：这里第i个字符是指字符串中索引为i的字符（索引从0开始）。状态转移：我们需要考虑两种情况：1.当前字符s[i]不在之前的最长无重复子串中（即不在以s[i-1]结尾的最长无重复子串中），那么dp[i]=dp[i-1]+1。2.当前字符s[i]出现在之前的最长无重复子串中，那么我们需要找到该字符上一次出现的位置（在当前的以s[i-1]结尾的子串中），然后从该位置之后开始重新计算当前子串。具体地，设上一次出现的位置为j（在当前的子串中，即从i-dp[i-1]到i-1的范围内），那么当前以s[i]结尾的最长子串应该从j+1开始，直到i，长度为i-j。但是，我们如何知道上一次出现的位置？我们可以用一个哈希表（或数组）来记录每个字符最近一次出现的位置。因此，我们可以优化状态转移：用dp[i]表示以s[i]结尾的最长无重复子串的长度。同时，我们维护一个变量start，表示当前无重复子串的起始位置（初始start=0），或者我们可以不用start，而是用哈希表记录每个字符最近一次出现的位置。具体步骤：1.初始化一个哈希表map（或者数组），用于存储每个字符最近一次出现的索引。2.初始化dp[0]=1，因为只有一个字符，无重复。同时，map[s[0]]=0。3.初始化一个变量max_len记录最大长度，初始为1。4.遍历字符串，从i=1到n-1：如果字符s[i]没有出现过，或者最近一次出现的位置在当前考虑的子串的起始位置之前（即不在当前子串中），那么dp[i]=dp[i-1]+1。否则，如果s[i]最近一次出现的位置（记为j）在当前子串中（即j>=当前子串的起始位置），那么当前子串的起始位置应该更新为j+1，此时以s[i]结尾的子串长度为i-j。但是，我们如何知道当前子串的起始位置？实际上，我们可以维护一个起始位置start，它表示当前无重复子串的起始索引。那么：如果s[i]在start到i-1的范围内出现过（即上一次出现的位置j>=start），那么我们需要更新start为j+1，然后dp[i]=i-start+1。否则，dp[i]=dp[i-1]+1。然而，我们也可以不显式维护start，而是通过哈希表记录的位置和当前的位置来计算。但是，显式维护start可能更直观。另一种常见的动态规划思路（与上面提到的start方法类似）：定义：start：当前无重复子串的起始位置（初始为0）max_len：最大长度（初始为0）哈希表map：存储字符最近出现的位置遍历每个字符（索引为i）：如果当前字符s[i]在map中，并且其最近出现的位置大于等于start（说明在当前子串中重复），那么将start更新为map[s[i]]+1。然后，更新当前无重复子串的长度为i-start+1，并更新max_len。更新map中s[i]的位置为i。注意：即使s[i]在map中出现过，但如果其上一次出现的位置小于start，说明这个重复不在当前子串中，那么当前子串仍然可以包含s[i]（即不重复），所以不需要移动start。因此，动态规划的状态转移可以简化为：start=max(start,map.get(s[i],-1)+1)#如果map中没有s[i]，则取-1，那么-1+1=0，不会影响startcurrent_len=i-start+1max_len=max(max_len,current_len)map[s[i]]=i这个过程中，我们并没有使用dp数组，而是用了一个变量current_len记录当前长度，以及max_len记录最大值。实际上，这是一种空间优化的动态规划（因为每个状态只依赖于前一个状态和start，所以不需要数组）。但是，题目要求动态规划解法，我们可以用dp数组，也可以不用（空间优化）。这里我们按照引用[4]中的方法，使用dp数组，但引用[4]中使用了string的rfind，效率较低，我们可以改进为使用哈希表记录位置。引用[4]的代码思路：dp[i]表示以第i个字符结尾的最长无重复子串的长度。用一个字符串temp来保存当前无重复子串（从某个位置到i-1的子串），然后对于s[i]：在temp中查找s[i]的位置（从后往前找，即rfind），如果找到（位置为index），那么从index+1开始取子串，然后加上s[i]，作为新的temp，同时dp[i]=temp的长度（即index+1到i的子串长度）。如果没有找到，则temp加上s[i]，dp[i]=dp[i-1]+1。但是，在temp中查找字符的时间复杂度为O(n)，所以整体时间复杂度为O(n^2)。我们可以用哈希表优化查找过程。因此，我们采用优化后的动态规划（使用哈希表记录字符最近出现的位置）来达到O(n)的时间复杂度。步骤（优化后的动态规划）：设n为字符串长度，如果n==0，返回0。初始化：dp[0]=1max_len=1map={}#字符到索引的映射map[s[0]]=0start=0#当前无重复子串的起始位置然后从i=1开始遍历：如果s[i]在map中，并且map[s[i]]>=start（说明这个重复发生在当前子串中），那么更新start=map[s[i]]+1计算当前以s[i]结尾的子串长度：dp[i]=i-start+1更新max_len=max(max_len,dp[i])更新map中s[i]的位置为i注意：在更新start时，我们取max(start,map[s[i]]+1)是为了确保start不会回退（因为有可能map[s[i]]+1比当前start还小？实际上，如果s[i]不在当前子串中，那么map[s[i]]应该小于start，所以我们不需要移动start。因此，我们可以这样写：ifs[i]inmapandmap[s[i]]>=start:start=map[s[i]]+1dp[i]=i-start+1max_len=max(max_len,dp[i])map[s[i]]=i但是，这样写需要先判断，我们可以统一写成：start=max(start,map.get(s[i],-1)+1)#如果s[i]不在map中，则返回-1，那么-1+1=0，但是start至少是0，所以如果start比0大，就不会被更新为0。注意，这里如果s[i]出现过，但是在上一次出现在start之前，那么map[s[i]]+1可能小于start，所以用max保证start不会变小。因此，代码可以写为：ifi>=1:start=max(start,map.get(s[i],-1)+1)dp[i]=i-start+1max_len=max(max_len,dp[i])map[s[i]]=i但是，注意：当s[i]在map中，但位置在start之前，那么start保持不变，dp[i]=i-start+1，这是正确的，因为s[i]不在当前子串中。然而，这里有一个问题：当s[i]不在map中时，map.get(s[i],-1)返回-1，那么start=max(start,0)。如果start>=0，那么start不变。但是，如果start是负数？不会，因为start初始为0。因此，我们可以统一使用start=max(start,map.get(s[i],-1)+1)来更新。但是，我们还需要注意：在更新map[s[i]]时，即使之前出现过，我们也要更新为当前的位置，因为我们需要最近出现的位置。举例验证：s="abcabcbb"i=0:s[0]='a'->map={'a':0},dp[0]=1,start=0,max_len=1i=1:'b'->map中没有，start=max(0,-1+1)=max(0,0)=0->dp[1]=1-0+1=2->max_len=2,map={'a':0,'b':1}i=2:'c'->同理，dp[2]=3,max_len=3,map={'a':0,'b':1,'c':2}i=3:'a'->map中有，上次位置0，start=max(0,0+1)=1->dp[3]=3-1+1=3,max_len=3,然后更新map['a']=3i=4:'b'->map中有'b'，上次位置1，start=max(1,1+1)=2->dp[4]=4-2+1=3,max_len=3,更新map['b']=4i=5:'c'->map中有'c'，上次位置2，start=max(2,2+1)=3->dp[5]=5-3+1=3,max_len=3,更新map['c']=5i=6:'b'->map中有'b'，上次位置4，start=max(3,4+1)=5->dp[6]=6-5+1=2,max_len=3,更新map['b']=6i=7:'b'->map中有'b'，上次位置6，start=max(5,6+1)=7->dp[7]=7-7+1=1,max_len=3,更新map['b']=7结果正确，最大长度为3。但是，我们也可以不使用dp数组，因为每次只用到前一个位置？实际上，我们并没有用到dp[i-1]，而是直接计算dp[i]（通过start和i），所以可以只用一个变量current_len代替dp[i]，然后更新max_len。不过题目要求动态规划，我们可以用dp数组，但空间复杂度为O(n)。如果不需要保存每个位置的状态，我们可以只用一个变量记录当前长度。不过，引用[4]中使用了dp数组，我们也按照dp数组的方式写，但实际计算中，dp[i]只依赖于start（而start依赖于之前的状态），所以使用dp数组是可行的。代码实现（使用dp数组）：步骤：初始化dp=[0]*ndp[0]=1max_len=1map={s[0]:0}start=0foriinrange(1,n):#更新startifs[i]inmap:#注意：map[s[i]]是上一次出现的位置，可能小于当前的start，所以用maxstart=max(start,map[s[i]]+1)else:#不在map中，start不变（但是我们可以统一用max，所以不需要else）pass#统一写法：无论是否在map中，都可以用start=max(start,map.get(s[i],-1)+1)#所以我们用统一写法start=max(start,map.get(s[i],-1)+1)dp[i]=i-start+1#更新mapmap[s[i]]=iifdp[i]>max_len:max_len=dp[i]返回max_len但是，这里有一个问题：我们在更新map[s[i]]之前，先使用了map.get(s[i],-1)，这样在map中可能已经存在s[i]（但我们要用更新前的位置），所以正确。注意：在更新start时，我们使用的是更新前map中的位置（即上一次出现的位置）。我们也可以不使用dp数组，而只用一个变量current_len，因为dp[i]只用于更新max_len，且不需要保存整个数组。下面给出两种代码（使用dp数组和不使用dp数组）？由于题目要求动态规划解法，我们可以使用dp数组（尽管空间复杂度为O(n)），但也可以说明动态规划的思想。但是，引用[4]中使用了dp数组，所以我们按照dp数组的方式写。然而，上述过程中，dp[i]并不依赖于dp[i-1]，而是直接由start和i计算得到，所以严格来说不是典型的动态规划（状态转移不是从dp[i-1]到dp[i]），但也是动态规划的一种（状态dp[i]表示以i结尾的子串的最长长度，且状态转移通过start来间接实现）。另一种典型的动态规划是：dp[i]表示以第i个字符结尾的最长无重复子串的长度。那么，设s[i]上一次出现的位置为j（如果没有则为-1），则：dp[i]=min(dp[i-1]+1,i-j)为什么？因为：如果当前字符s[i]与之前子串中的字符不重复，那么dp[i]=dp[i-1]+1。如果重复了，那么以i结尾的最长子串的长度就是i-j（因为重复发生在j位置，所以从j+1到i是无重复的）。但是，这里有一个条件：j必须在[i-dp[i-1],i-1]的范围内，否则这个重复不在当前子串中，那么dp[i]还是dp[i-1]+1。然而，我们无法直接知道j是否在当前的子串中（即是否在[i-dp[i-1],i-1]范围内）。所以我们可以这样写：dp[i]=min(dp[i-1]+1,i-j)当j>=0时，但这样写不一定正确。例如：s="abba"，当i=3（最后一个'a'）时：i=0:'a'->dp[0]=1,j=-1->dp[0]=1i=1:'b'->dp[1]=2,j=-1->dp[1]=2i=2:'b'->j=1（因为上一个'b'在位置1），那么dp[2]=min(dp[1]+1=3,2-1=1)=1->正确（因为"abb"中，以第二个'b'结尾的最长子串是"b"，长度为1？不对，应该是"ab"已经包含了第一个'b'，所以第二个'b'重复了，那么以第二个'b'结尾的最长子串应该是从上一个'b'后面开始，即位置2开始，长度为1，所以dp[2]=1。i=3:'a'->j=0（第一个'a'），那么dp[3]=min(dp[2]+1=2,3-0=3)->取2。但是，以第三个字符（第二个'b'）结尾的最长子串是"b"（长度为1），那么以第四个字符'a'结尾的子串：因为上一个'a'在位置0，而当前子串的起始位置应该是上一个重复字符'b'的位置（位置2）和上一个'a'的位置（位置0）中较大的那个？因为当前子串必须保证无重复，所以起始位置应该是max(0+1,2+1)=3？不对，应该是从位置2开始（因为位置2是上一个重复的'b'后面，但位置0的'a'在位置2之前，且当前子串（从位置2开始）中并没有包含'a'，所以可以加入。但实际上，从位置2开始的子串是"ba"，包含当前字符'a'，所以长度应该是2。因此，我们需要知道当前子串的起始位置，也就是上一个重复字符出现的位置（但可能有多个重复？）实际上，我们关心的是上一个与当前字符相同的字符的位置，以及上一个重复事件导致的起始位置（即dp[i-1]对应的起始位置）。所以，我们仍然需要记录起始位置。所以，更通用的方法还是用start记录当前无重复子串的起始位置。因此，我们采用第一种方法（用start和哈希表）来实现动态规划。总结动态规划思想：我们定义dp[i]为以s[i]结尾的最长无重复子串的长度。通过维护一个哈希表记录每个字符最近出现的位置，以及一个变量start表示当前无重复子串的起始位置（这个起始位置是动态更新的）。状态转移方程：start=max(start,last_occurrence.get(s[i],-1)+1)dp[i]=i-start+1然后更新last_occurrence[s[i]]=i最后，最大长度就是dp数组中的最大值。我们也可以不使用dp数组，而用一个变量current_length代替dp[i]，然后实时更新最大长度。但为了符合动态规划的形式，我们可以保留dp数组。代码实现（Python）：deflengthOfLongestSubstring(s:str)->int:n=len(s)ifn==0:return0#初始化dp=[0]*ndp[0]=1#哈希表记录字符最近出现的位置last_occurrence={s[0]:0}start=0max_len=1foriinrange(1,n):#计算start#如果s[i]在last_occurrence中，则取last_occurrence[s[i]]，否则取-1prev_index=last_occurrence.get(s[i],-1)#更新start：如果prev_index+1大于当前start，则更新，否则不变start=max(start,prev_index+1)dp[i]=i-start+1#更新最大长度ifdp[i]>max_len:max_len=dp[i]#更新字符s[i]的位置last_occurrence[s[i]]=ireturnmax_len测试例子：s="abcabcbb"->3s="bbbbb"->1s="pwwkew"->3注意：在遍历过程中，start可能被更新（增大），而dp[i]则计算了以i结尾的子串长度。这种动态规划的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)（dp数组）和O(字符集大小)（哈希表）。我们也可以不使用dp数组，只用一个变量current_len，因为dp[i]只用于更新max_len，不需要保存所有状态：deflengthOfLongestSubstring(s:str)->int:n=len(s)ifn==0:return0last_occurrence={}start=0max_len=0foriinrange(n):#如果当前字符已经出现过，并且上一次出现的位置大于等于start，则更新startifs[i]inlast_occurrenceandlast_occurrence[s[i]]>=start:start=last_occurrence[s[i]]+1#当前子串长度current_len=i-start+1ifcurrent_len>max_len:max_len=current_lenlast_occurrence[s[i]]=ireturnmax_len或者用统一写法（避免if）：deflengthOfLongestSubstring(s:str)->int:start=0max_len=0last_occurrence={}fori,cinenumerate(s):ifcinlast_occurrence:#注意，这里必须保证last_occurrence[c]>=start才需要更新start，否则start不变start=max(start,last_occurrence[c]+1)current_len=i-start+1max_len=max(max_len,current_len)last_occurrence[c]=ireturnmax_len这种写法和上面一样，且更简洁。所以，我们通常采用这种空间优化的动态规划（或者称为滑动窗口更合适？）。但是，动态规划的思想体现在我们用状态转移（通过start）来计算当前子串的长度。回到问题，用户要求动态规划解决思路，我们可以给出两种形式：使用dp数组和空间优化（不使用dp数组）的形式。但空间优化形式更常用。在回答中，我们将详细解释动态规划的思想和步骤，并给出代码。</think>### 无重复字符的最长子串：动态规划解法详解
#### 动态规划思想
解决**无重复字符的最长子串**问题时，动态规划的核心思路是：
**定义状态**：$dp[i]$ 表示以字符串中第 $i$ 个字符结尾的最长无重复子串的长度。
**目标**：遍历整个字符串，计算所有 $dp[i]$ 的最大值，即全局最长无重复子串的长度。
#### 关键步骤与状态转移
1. **状态初始化**：
- $dp[0] = 1$（单个字符无重复）
- 哈希表 `last_occurrence` 记录字符最近出现的位置（如 `{'a': 0}`）
- 维护指针 `start` 表示当前无重复子串的起始位置（初始为 0）
2. **状态转移方程**（$i \geq 1$）：
$$
\begin{cases}
\text{start} = \max(\text{start}, \text{last\_occurrence}[s[i]] + 1) \\
dp[i] = i - \text{start} + 1
\end{cases}
$$
- **`start` 更新逻辑**：
- 若 $s[i]$ 未出现过或不在当前子串中（`last_occurrence.get(s[i], -1) < start`），`start` 不变。
- 若 $s[i]$ 已在当前子串中（`last_occurrence[s[i]] \geq \text{start}`），将 `start` 移到该字符上一次出现位置的下一位。
- **$dp[i]$ 计算**：以 $s[i]$ 结尾的子串长度为 $i - \text{start} + 1$。
3. **更新哈希表**：
记录 $s[i]$ 的最新位置：`last_occurrence[s[i]] = i`。
4. **更新全局最大值**：
比较所有 $dp[i]$，取最大值 $\text{max\_len} = \max(\text{max\_len}, dp[i])$。
#### 示例分析（$s = \text{"pwwkew"}$）
| $i$ | $s[i]$ | `start` 更新 | $dp[i]$ | 当前子串 | `last_occurrence` |
|-----|--------|--------------|---------|----------|-------------------|
| 0 | `'p'` | 0 | 1 | `"p"` | `{'p':0}` |
| 1 | `'w'` | 0 | 2 | `"pw"` | `{'p':0, 'w':1}` |
| 2 | `'w'` | $\max(0,1+1)=2$ | 1 | `"w"` | `{'p':0, 'w':2}` |
| 3 | `'k'` | 2 | 2 | `"wk"` | `{'p':0, 'w':2, 'k':3}` |
| 4 | `'e'` | 2 | 3 | `"wke"` | 更新 `'e':4` |
| 5 | `'w'` | $\max(2,2+1)=3$ | 3 | `"kew"` | 更新 `'w':5` |
最终 $\text{max\_len} = 3$（子串 `"wke"` 或 `"kew"`）。
#### 代码实现（Python）
```python
def lengthOfLongestSubstring(s: str) -> int:
n = len(s)
if n == 0:
return 0
dp = [0] * n
dp[0] = 1
last_occurrence = {s[0]: 0}
start = 0
max_len = 1
for i in range(1, n):
# 更新子串起始位置
start = max(start, last_occurrence.get(s[i], -1) + 1)
# 计算dp[i]
dp[i] = i - start + 1
# 更新最大值和字符位置
if dp[i] > max_len:
max_len = dp[i]
last_occurrence[s[i]] = i
return max_len
```
#### 复杂度分析
- **时间复杂度**：$O(n)$，遍历字符串一次。
- **空间复杂度**：$O(|\Sigma|)$（$\Sigma$ 为字符集大小），哈希表存储字符位置[^4]。
#### 优化：空间压缩
可省略 $dp$ 数组，仅用变量 `cur_len` 记录当前子串长度：
```python
def lengthOfLongestSubstring(s: str) -> int:
start = 0
max_len = 0
last_occurrence = {}
for i, char in enumerate(s):
if char in last_occurrence and last_occurrence[char] >= start:
start = last_occurrence[char] + 1
cur_len = i - start + 1
max_len = max(max_len, cur_len)
last_occurrence[char] = i
return max_len
```
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