面试题【6】斐波拉契数列

题目一：写一个函数，输入n，求斐波拉契数列的第n项。斐波拉契数列的定义如下：f(n) = 0 ,n = 0; f(n) = 1 ,n = 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2) , n > 1

大家很容易想到的方法是使用递归，太明显的递归思想，于是一顿操作猛如虎就把代码敲完了，可是为什么这么敲大家可否想过？这么敲的好处在哪？
我们先来看看低配版的代码什么样？

long long Fibonaci(unsigned int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;
    if(n == 1)
        return 1;

    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

逻辑结构非常清晰，那么问题出在哪呢？
我们以求 f(10) 为例

我们发现，这棵树中有许多结点时重复的，而且随着 N 的增大而急剧增加，这会严重影响到执行的效率。

递归是个好东西，但并不是万能的，每次调用自己都会涉及到空间和时间的消耗，改进的方法也很简单，采用递归的思想，循环的操作。

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    int result[2] = {0, 1};
    if(n < 2)
        return result[n];

    long long FibonOne = 0;
    long long FibonTwo = 1;
    long long FibN     = 0;
    for(unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        FibN = FibonOne + FibonTwo;

        FibonOne = FibonOne;
        FibonTwo = FibN;
    }
    return FibN;
}

这种方法就是从下往上计算，由 f(0) 和 f(1) 可以求出 f(2) ，由 f(1) 和 f(2) 可以求出 f(3) ……，依次类推就可以求出第 n 项。

一只青蛙一次可以跳一阶台阶，也可以跳两阶台阶，问跳N阶台阶有多少种跳法？

分析：如果还有一节台阶，那么只有一种跳法；如果有两阶台阶，当第一次跳一阶台阶时，第二次也只能跳一阶台阶，当第二次跳两阶台阶时，完成，所有两阶台阶有两种跳法。当有三阶台阶时，可以看做第一次跳了一阶台阶后，第二次的跳法 加上 第一次跳了两阶台阶后 第二次的跳法之和，即 f(2) + f(1)

// 循环的方式
#include <iostream>

using namespace std;

void Frog(int num)
{
    int result[3] = { 0, 1 , 2};
    if (num < 0)
        cout << "输入有误" << endl;
    else if (num < 3)
        cout << "有 " << result[num] << " 种方式" << endl;

    int One = 1, Two = 2, N = 0;
    for (int i = 3; i <= num; ++i)
    {
        N = One + Two;
        One = Two;
        Two = N;
    }

    cout << "有 " << N << " 种方式" << endl;
}

int main()
{
    int num = 0;
    cout << "请输入台阶数:" << endl;
    cin >> num;
    Frog(num);
    return 0;
}