辗转相除法， 又名欧几里德算法（求最小公倍数的方法）

辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。

来源

设两数为a、b(a>b），求a和b最大公约数(a，b）的步骤如下：用b除a，得a÷b=q......r1(0≤r1）。若r1=0，则（a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为（a，b）。

原理

设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c//注意要a>=b

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。

证毕；

#include <stdio.h>
int main(void)
{
	int a,b,k,t,i;
	printf("Please input a and b:");
	scanf("%d %d",&a,&b);
	if(a>1000||a<0||b>1000||b<0)
	{
		printf("Output:\nInput error!\n");
		return 0;
	}else 
	{
		if(a<b)
		{
			k=a;
			a=b;
			b=k;
		}
		t=a*b;
		while(b!=0)
		{
			i=a%b;	
			a=b;
			b=i;
		}
		printf("Output:%d\n",t/a);
		return 0;
	}
}

求最小公倍数算法：

最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数