23、计算气动声学与静电 - 机械耦合系统研究

计算气动声学与静电 - 机械耦合系统研究

1. 计算气动声学的有限元公式

1.1 微扰方程概述

在计算气动声学中，与线性声学的守恒方程相比，微扰方程的主要差异在于对流项。为简化表示，假设空间恒定平均流 (v_0) 并忽略所有源项，得到变分形式如下：
[\int_{\Omega} \frac{\partial p_a}{\partial t} \phi d\Omega + \int_{\Omega} (v_0 \cdot \nabla p_a) \phi d\Omega - \int_{\Omega} v_a \cdot \nabla \phi d\Omega = 0]
[\int_{\Omega} \frac{\partial v_a}{\partial t} \cdot \psi d\Omega + \int_{\Omega} (v_0 \cdot \nabla) v_a \cdot \psi d\Omega + \int_{\Omega} \nabla p_a \cdot \psi d\Omega = 0]

1.2 混合有限元公式的难点

混合有限元公式存在三个主要难点：
1. 声学粒子速度 (v_a) 选择不连续空间 (L^2) 与方程中要求存在缩放散度的项矛盾。
2. 对流项使全局刚度矩阵不再斜对称，导致特征值有正实部，解不稳定。
3. 方程的对流特性通常需要迎风方案。

1.3 数值通量的引入

为解决上述问题，引入类似不连续伽辽金（DG）方案的数值通量。假设两个有共同边界 (\Gamma_{12}) 的单元 (K_1) 和 (K_2)，定义向量 (v_a