44、基于配对的短非交互式零知识证明

基于配对的短非交互式零知识证明

1. 乘积论证

乘积论证的验证规则为：当且仅当以下条件同时满足时输出 1：
[e(g, \hat{\pi}) = e(\pi, \hat{g}) \land e(g, \dot{\pi}) = e(\pi, \dot{h}) \land e(c, d) = e(v, \prod_{j\in[n]} g_{j(n + 1)})e(g, \pi)]

乘积论证具有完美的完备性和完美的见证不可区分性。若 q - CPDH 假设成立，非均匀概率多项式时间敌手输出承诺 $(c, d, v)$ 和可接受的论证 $\pi$ 以及相应的打开信息，使得存在 $i \in [n]$ 满足 $a_ib_i \neq u_i$ 的概率可忽略不计。

乘积论证有两个受限到 $\tilde{S}$ 的承诺和一个受限到 $\overline{S}$ 的承诺，且承诺在 $\tilde{S}$ 和 $\overline{S}$ 之间的转换较为容易。若有分别受限到 $\tilde{S}$ 和 $\overline{S}$ 的两个承诺 $v$ 和 $d$，可以给出一个乘积论证，证明 $v$ 中的值是 $c = \prod_{i\in[n]} g_i$ 和 $d$ 中值的逐元素乘积。由于 $c$ 是对 $(1, \ldots, 1)$ 的承诺，这就证明了 $v$ 和 $d$ 包含相同的值。

此外，乘积论证还可用于证明承诺 $c$ 中的值是以 $\pm1$ 编码的比特。若给出一个乘积论证，证明 $\prod_{i\in[n]} g_i$（对 $(1, \ldots, 1)$ 的承诺）是 $c$ 和 $d$ 中值的逐元素乘积，其中 $d$ 包含与 $c$ 相同的值，