龙格-库塔法在MATLAB的应用-优快云博客

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龙格-库塔法是求解常微分方程初值问题的最重要的方法之一。MATLAB中提供了几
个采用龙格-库塔法来求解常微分方程的函数，即ode23，ode45，ode113 ，ode23s ，ode15s
等，其中最常用的函数是 ode23( 二三阶龙格-库塔函数)和ode45( 四五阶龙格-库塔函数)，
下面分别对它们进行介绍。 
1 ．二三阶龙格- 库塔函数(ode23) 
函数 ode23 的调用格式如下： 
(1) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0)  输入参数中的'F' 是一个字符串，表示微分方程的形
式，也可以是 f (x , y )的M 文件。TSPAN=[T0  TFINAL]表示积分区间，Y0表示初始条件。
函数 ode23 表示在初始条件 Y0下从 T0到TFINAL 对微分方程 '(,) yFty = 进行积分。函数
F(T, Y) 必须返回一列向量，两个输出参数是列向量 T 与矩阵 Y，其中向量 T 包含估计响应
的积分点，而矩阵 Y 的行数与向量 T 的长度相等。向量 T 中的积分点不是等间距的，这是
为了保持所需的相对精度，而改变了积分算法的步长。为了获得在确定点T0,T1, "的解，
TSPAN=[T0 T1 TFINAL] 。需要注意的是：TSPAN中的点必须是单调递增或单调递减的。 
(2)    [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS) 其中，参数 options 为积分参数，它可由函
数ODESET 来设置。Options参数最常用的是相对误差‘RelTol’( 默认值是 1e-3)和绝对误差
‘AbsTol’(默认值是 1e-6)，其他参数同上。 
(3)    [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2,…)  参数P1,P2, …可直接输入到函数
F 中去．如 F(T,Y,FLAG,P1,P2,…)。如果参数 OPTIONS为空，则输入 OPTIONS=[ ]。也可
以在 ODE文件中(可参阅 ODEFILE函数)指明参数 TSPAN、Y0和OPTIONS的值。如果参
数TSPAN 或Y0 是空，则ODE23函数通过调用ODE文件[TSPAN, Y0, OPTIONS] =  
F([ ],[ ], 'init ')来获得 ODE23函数没有被提供的自变量值。如果获得的自变量表示空，则函
数ODE23会忽略，此时为 ODE23('F')。 
(4) [T,Y,TE,YE,IE]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS)  此时要求在参数 options 中的事
件属性设为'on' ，ODE文件必须被标记，以便 P(T,Y,'events') 能返回合适的信息，详细可参
阅函数 ODEFILE。输出参数中的 TE是一个列向量，矩阵 YE的行与列向量 TE中元素相
对应，向量 IE 表示解的索引。 
2 ．四五阶龙格- 库塔函数(ode45) 
函数 ode45 的调用格式同 ode23 相同，其差别在于内部算法不同。如果'F' 为向量函数，
则ode23 和ode45 也可用来解微分方程组。 
【例3.47 】  分别用二三阶龙格-库塔法和四五阶龙格-库塔法解常微分方程的初值问题： 
解：先将微分方程写成自定义函数 exam2fun.m 
function f=exam2fun (x,y) 
f=-y-x*y.^2; 
f=f(:);    
然后在命令窗口输入以下语句： 
>> [x1,y1]=ode23('exam2fun',[0:0.1:1],1)  
x1 = 
          0 
    0.1000 
    0.2000 
    0.3000 
    0.4000 
    0.5000 
    0.6000 
    0.7000 
    0.8000 
    0.9000 
    1.0000 
y1 = 
    1.0000 
    0.9006 
    0.8046 
    0.7144 
    0.6314 
    0.5563 
    0.4892 
    0.4296 
    0.3772 
    0.3312 
    0.2910 
>> [x2,y2]=ode45('exam2fun',[0:0.1:1],1) 
x2 = 
           0 
    0.1000 
    0.2000 
    0.3000 
    0.4000 
    0.5000 
    0.6000 
    0.7000 
    0.8000 
    0.9000 
    1.0000 
y2 = 
    1.0000 
    0.9006 
    0.8046 
    0.7144 
    0.6315 
    0.5563 
    0.4892 
    0.4296 
    0.3772 
    0.3312 
    0.2910