阿罗不可能性定理简证（translated from ubc. cs523I）

社会选择

定义（社会选择函数）：

假设有一个代理人集N={1,2,…,n}，以及一个结果（/候选人）集合O，令L_表示对O的一个非严格排序，则一个**社会选择函数（social choice function）**就是一个函数
$$C:{L_{-}}^n\to O$$

定义（社会福利函数）：

同上，一个**社会福利函数（social welfare function）**就是一个函数
$$W:{L_{-}}^n\to L_{-}$$
即：社会选择函数就是从若干候选人排序中总结出一个胜者；社会福利函数就是从若干个候选人排序中总结出一个排序。

一些可能的投票规则：

1. 简单多数

   选择被最多人选择的结果

2. 优先选择

   每次去掉一个被最少人选择的结果

3. Borda计票

   倒数第i名得到i票

4. 成对比较

   每次给出两个结果，让人们决定他们更喜欢的那个

孔多塞悖论：

成对比较并不是一个可行的策略：

例如，甲：A>B>C，乙：B>C>A，丙：C>A>B

模型：（记号）

• N：代理人集

• O：有限结果集（|O|≥3）

• L：所有可能的在O上的严格偏好排序集

• $[\succ ]$是集合L^n的一个元素，其中$[{\succ }_i]$是第i个人的偏好排序

• $[{\succ }_W]$是社会福利函数W选择的偏好排序

  我们把对W的输入写在下标里面，也就是说，如果输入是KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 7: [\succ^̲']的话，输出就是
  $${\succ }_{W([{\succ }^{{}^{\prime }}])}$$

定义：

• 帕累托效率（PE）（如果所有人都认为A>B，则最终结果中A>B）

  W是帕累托效率（最优）的，如果对任意o1,o2∈O，任意i，都有
  $$o_1{\succ }_i{o}_2$$
  ，则有
  $$o_1{\succ }_W{o}_2$$

• 无关选择独立性（IIA）（任意两个候选人的最终排序结果仅与他们两个在代理人的选择中的排序相关）

  W是IIA的，如果，对任意的o1,o2∈O，对任意两个偏好排序KaTeX parse error: Double superscript at position 9: [\succ^['̲]]和KaTeX parse error: Double superscript at position 9: [\succ^['̲']]，如果对任意的i，
  $$o_1{\succ }_i^{{}^{\prime }}{o}_{2}iff{o}_1{\succ }_i^{{}^{\prime \prime }}{o}_2$$
  则：
  $$o_1{\succ }_{W([{\succ }^{{}^{\prime }}])}{o}_{2}iff{o}_1{\succ }_{W([{\succ }^{{}^{\prime \prime }}])}{o}_2$$

• 非独裁（Non-dictatorship）

  存在独裁者当且仅当存在i，i的排序结果与最终结果完全相同

Arrow不可能定理：

任意一个社会福利函数W（隐含传递性），如果它是PE和IIA的，它就是独裁的

步骤1：

如果结果b在每个投票者的偏好排序中都要么是第一个，要么是最后一个，那么在最终的总结排序中其也要么是第一个要么是最后一个。

证明：反证：否则存在结果a,c∈O，使得
$$a{\succ }_{W}bandb{\succ }_{W}c$$
现在我们对\succ进行调整，使得每个投票者都把对c的排名移动到a之前一个（如果之前c在a后的话），记为\succ^{’}.那么，根据IIA，我们注意到a和b的相对位置完全不变；b和c的相对位置也完全不变（因为b要么第一个要么最后一个，c的位置变化不会逾越b的界限），因此我们仍然有：
$$a{\succ }_W^{{}^{\prime }}bandb{\succ }_W^{{}^{\prime }}c$$
从而，根据传递性，a优势于c，但是之前对c的移动表明，根据PE，c应该优势于a，矛盾！

步骤2：

某一个投票者n*是极为关键的（extremely pivotal），如果仅通过改变他的投票结果，他就可以把一个给定的结果b从社会选择的底部移动到顶部。

我们考虑一个类似介值定理的性质：假设一开始所有人都把b排在最底下，那么显然在社会选择排序中b也在最底下，但是我们现在开始从1~n逐个把b提升到第一位，那么最终得到的排序b也在第一位。又因为步骤1的结论，b要么在第一位要么在最后一位，因此必定在某个时刻轮到某个人n*的时候他对b的提升使得b突然从最后一位提升到第一位。

记$[{\succ }^1]$为在n*移动b之前的偏好排序；$[{\succ }^2]$为在n*移动b之后的偏好排序。那么，n*在$[{\succ }^1]$中就是极为关键的。

步骤3：

n*在任意一个不包含b的结果对(a,c)上都是独裁的。

证明：不妨设在n*中a>c，我们对$[{\succ }^2]$进行两个操作，得到$[{\succ }^3]$

1. 把a移动到n*的顶部（此时b成为第二）
2. 我们对n*之外的所有投票者的(a,c)排序进行随意的重排（交换/ 不交换）。

性质：在n*中，
$$a{\succ }_{n^{\ast }}b{\succ }_{n^{\ast }}c$$
​ 因此，对于$[{\succ }^1]$和$[{\succ }^3]$来说，(a,b)的相对位置是完全一样的。那么，根据IIA，由于b在1中的社会排序中排在最后，因此：
$$a{\succ }_{W}bin[{\succ }^1]\Rightarrow a{\succ }_{W}bin[{\succ }^3]$$
​ 但是我们注意到在2中b在第一个，因此b>c，而在2，3中(b,c)的相对位置又完全相同，因此，根据IIA，也有：
$$b{\succ }_{W}cin[{\succ }^2]\Rightarrow b{\succ }_{W}cin[{\succ }^3]$$
那么，综上，根据传递性，在3中a优势于c

现在再对$[{\succ }^3]$进行两个操作，得到$[{\succ }^4]$：

1. 在每个（含n*）投票者的偏好排序中随意改变b的位置
2. 在n*中随意改变a的位置，但是保持a在c的上面

这样，我们得到的结果$[{\succ }^4]$就具有相当大的随机性了：n*中仅有a优势于c，其他的完全随机；其他人则完全随机。

但是，我们注意到$[{\succ }^3]$和$[{\succ }^4]$中所有人的偏好排序中(a,c)的相对位置都不变，因此，根据IIA，有：
$$a{\succ }_{W}cin[{\succ }^4]$$
但是，由于随机性，我们就知道，a和c的关系完全被n*所决定。

步骤4：

n*在任意一个对(a,b)上都是独裁的。

证明：前面已经考虑过不包含b的对了，现在只要考虑包含b的对。

对于结果c来说，根据步骤2的讨论，存在一个投票者n**在c上是极为关键的。那么，它在任意不包含c的对αβ上都是独裁的。由于n≥3，n*和n**必定在某些相同的对上独裁，因此n*和n**必然是同一个人。由于n**的独裁对中包含了所有包含b的对，从而n*就是一个独裁者，证毕！