高度可约三角形数和硬币求和

最新推荐文章于 2025-12-29 09:00:04 发布

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这篇博客探讨了两个数学问题：一是找到第一个拥有超过500个约数的三角形数，通过优化的代码实现找到了答案；二是求解组成£2的不同硬币组合数，展示了递归算法的应用。

三角形数数列是通过逐个加上自然数来生成的。例如，第7个三角形数是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28。三角形数数列的前十项分别是：

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …

让我们列举出前七个三角形数的所有约数：

1: 1
3: 1,3
6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

我们可以看出，28是第一个拥有超过5个约数的三角形数。

第一个拥有超过500个约数的三角形数是多少？

public class Divisor {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(triangleNum(500));
    }

    public static int triangleNum(int count) {
        int num = 0;

        for (int i = 1;i < Integer.MAX_VALUE;i ++) {
            num += i;
            if (getDivisor(num) > count)
                return num;
        }
        return -1;
    }

    public static int getDivisor(int num) {
        int sum = 0;
        for (int i = 1;i <= num;i ++) {
            if (num % i ==0)
                sum ++;
        }
        return sum;
    }
}

参考答案：

public class Divisor {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(triangleNum(500));
    }

    public static int triangleNum(int count) {
        int num = 0;

        for (int i = 1;i < Integer.MAX_VALUE;i ++) {
            num += i;
            if (getDivisor(num) > count)
                return num;
        }
        return -1;
    }

    public static int getDivisor(int num) {
        int prime = (int) Math.sqrt(num);
        int i = 1;
        int sum = 0;
        while (i <= prime) {
            if (num % i == 0)
                sum++;
            i++;
        }
        return prime * prime == num ? 2 * sum -1 : 2 * sum;
    }
}

英国的货币单位包括英镑£和便士p，在流通中的硬币一共有八种：

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p), £2 (200p)

以下是组成£2的其中一种可行方式：

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

不限定使用的硬币数目，组成£2有多少种不同的方式？
参考答案

public class CoinSummation {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(kindOfSum(200,0));

    }

    public static int kindOfSum(int totalMomey,int index) {
        int money[] = {1,2,5,10,20,50,100,200};
        int sum = 0;
        for (int i = index;i < money.length;i++) {
            if (totalMomey - money[i] == 0) {
                sum++;
                break;
            }

            if (totalMomey - money[i] > 0)
                sum += kindOfSum(totalMomey -money[i],i);
        }
        return sum;
    }
}