本文介绍了平衡二叉树的概念，其作为解决二叉排序树查询效率低下的问题。详细阐述了平衡二叉树的特点，包括AVL树，以及如何通过旋转操作（左旋、右旋、双旋）来保持平衡。通过实例展示了从二叉排序树转换为平衡二叉树的过程，并提供了相应的伪代码和部分实现。
数据结构与算法—树5
声明：以下是学的尚硅谷网课并结合网上资料所记的笔记。可能会有一些错误，发现了会修改。
平衡二叉树
- 又叫平衡二叉搜索树，AVL树。是在二叉排序树基础上的，可以保证查询效率较高，解决二叉排序树单支的情况（类似单链表）查询速度慢的问题。
- 特点：它是一颗空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
如上图所示，A，B为平衡二叉树，C不是平衡二叉树，因为根节点的左子树高度为3，而右子树高度为1，高度差超过了1，所以不是平衡二叉树。
平衡二叉树的构建
子树高度的获取
关键： 当左子树和右子树的高度差大于1时，就不再是一颗AVL树了。所以需要得到树的高度，左子树和右子树的高度。伪代码如下：
//返回当前结点的高度，以该结点为根结点的树的高度
public int getHeight() {
return Math.max(left == null? 0 : left.getHeight(), right == null ? 0 : right.getHeight()) + 1;
}
//返回左子树高度
public int getLeftHeight() {
if(left == null) {
return 0;
}
return left.getHeight();
}
//返回右子树高度
public int getRightHeight() {
if(right == null) {
return 0;
}
return right.getHeight();
}
二叉排序树转为平衡二叉树
由二叉排序树转为平衡二叉树有三种情况：
- 如果 右子树的高度 - 左子树的高度 > 1，左旋转，降低右子树的高度。例：给一个数列{4,3,6,5,7,8}，创建出对应的平衡二叉树。
步骤：
- 创建新的结点，以当前节点的值。
- 把新的结点的左子树设置成当前节点的左子树。
- 把新的结点的右子树设置成当前结点的右子树的左子树。
- 把当前结点的值替换成右子结点的值。
- 把当前结点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树。
- 把当前节点的左子树（左子结点）设置成新的结点。
代码：
private void leftRotate() {
//创建新的结点，以当前节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前节点的左子树
newNode.left = left;
//把新的结点的右子树设置成当前结点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树
right = right.right;
//把当前节点的左子树（左子结点）设置成新的结点
left = newNode;
}
- 如果 左子树的高度 - 右子树的高度 > 1，右旋转，降低左子树的高度。例：给一个数列{10,12,8,9,7,6}，创建出对应的平衡二叉树。
步骤：
- 创建新的结点，值等于当前节点的值。
- 把新的结点的右子树设置成当前节点的右子树。
- 把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树的右子树。
- 把当前结点的值替换成左子结点的值。
- 把当前结点的左子树设置成当前结点的左子树的左子树。
- 把当前节点的右子树（右子结点）设置成新的结点。
代码：
private void rightRotate() {
//创建新的结点，以当前节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的右子树设置成当前节点的右子树
newNode.right = right;
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//把当前结点的值替换成左子结点的值
value = left.value;
//把当前结点的左子树设置成当前结点的左子树的左子树
left = left.left;
//把当前节点的右子树（右子结点）设置成新的结点
right = newNode;
}
- 双旋转。 前面的两个数列，进行单旋转（即一次旋转）就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树，但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换，比如数列 {10,11,7,6,8,9} 。
上面的左子树比右子树高，进行右旋转后，发现右子树比左子树高，单旋转并没用，需要双旋转。
问题分析
- 当符合左旋转条件时。判断：如果该结点的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度，先对当前结点的右子结点进行右旋转以降低该结点右子树的左子树的高度，再对当前节点进行左旋转的操作。如果不满足上述条件则直接进行左旋转。
- 当符合右旋转条件时。判断：如果该结点的左子树的右子树的高度大于它的左子树的左子树的高度，先对当前结点的左子结点进行左旋转以降低该结点左子树的右子树的高度，再对当前节点进行右旋转的操作。如果不满足上述条件则直接进行右旋转。
双旋转代码：
//当添加完一个结点后，如果 右子树的高度 - 左子树的高度 > 1，左旋转
if(getRightHeight() - getLeftHeight() > 1) {
//如果该结点的 右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度。
if(right != null && right.getLeftHeight() > right.getRightHeight()) {
//先对当前结点的右子结点进行右旋转
right.rightRotate();
//再对当前节点进行左旋转
leftRotate();
} else {
//直接进行左旋转即可
leftRotate();
}
return;
}
//当添加完一个结点后，如果 左子树的高度 - 右子树的高度 > 1，右旋转
if(getLeftHeight() - getRightHeight() > 1) {
//如果该结点的 左子树的右子树的高度大于它的左子树的左子树的高度。
if(left != null && left.getRightHeight() > left.getLeftHeight()) {
//先对当前结点的左结点进行左旋转
left.leftRotate();
//再对当前节点进行右旋转
rightRotate();
} else {
//直接进行右旋转即可
rightRotate();
}
}
整体代码：
package AVL;
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
//int[] arr = {4,3,6,5,7,8}; //给定的序列，用来进行左旋转测试
//int[] arr = {10,12,8,9,7,6}; //给定的序列，用来进行右旋转测试
int[] arr = {10,11,7,6,8,9};
//生成一个AVLTree
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//添加结点
for(int i=0; i<arr.length; i++) {
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//遍历
System.out.println("中序遍历");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("在做平衡处理后");
System.out.println("树的高度 =" + avlTree.getRoot().getHeight()); //4
System.out.println("树的左子树高度 =" + avlTree.getRoot().getLeftHeight());
System.out.println("树的右子树高度 =" + avlTree.getRoot().getRightHeight());
System.out.println("当前的根节点 =" + avlTree.getRoot());
}
}
//创建平衡二叉树
class AVLTree {
private Node root;
//添加节点的方法
public Node getRoot() {
return root;
}
public void add(Node node) {
if(root == null) {
root = node; //如果root为空则直接让root指向node
} else {
root.add(node);
}
}
//中序遍历
public void infixOrder() {
if(root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历！");
}
}
//查找要删除的节点
public Node search(int value) {
if(root == null) {
return null;
} else {
return root.search(value);
}
}
//查找父节点
public Node searchParent(int value) {
if(root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent(value);
}
}
//编写方法
/**
* 1.返回以node为根节点的二叉排序树的最小节点的值
* 2.删除以node为根节点的二叉排序树的最小节点的值
* @param node 传入的节点（当做二叉排序树的根节点）
* @return 返回以node为根节点的二叉排序树的最小节点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
//循环的查找左子节点，就会找到最小值
while(target.left != null) {
target = target.left;
}
//这时target就指向了最小节点，删除最小节点
delNode(target.value);
return target.value;
}
//删除节点
public void delNode(int value) {
if(root == null) {
return;
} else {
//1.先找到待删除的节点 targetNode
Node targetNode = search(value);
//2.如果没有找到要删除的节点
if(targetNode == null) {
return;
}
//如果只有一个根节点
if(root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
//去找到targetNode的父节点
Node parent = searchParent(value);
//如果要删除的节点是叶子节点
if(targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
//判断targetNode是父节点的左子节点还是右子节点
if(parent.left != null && parent.left.value == value) {
parent.left = null;
} else if(parent.right != null && parent.right.value == value) {
parent.right = null;
}
} else if(targetNode.left != null && targetNode.right != null) { //如果要删除有两颗子树的节点
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else { //剩余的情况，就是删除只有一颗子树节点的情况
//如果要删除的节点有左子节点
if(targetNode.left != null) {
if(parent != null) {
//如果targetNode是parent的左子节点
if(parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
} else { //targetNode是parent的右子节点
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
} else { //如果要删除的节点有右子节点
if(parent != null) {
// 如果targetNode是parent的左子节点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else { // targetNode是parent的右子节点
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
}
//创建结点
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
//返回当前结点的高度，以该结点为根结点的树的高度
public int getHeight() {
return Math.max(left == null? 0 : left.getHeight(), right == null ? 0 : right.getHeight()) + 1;
}
//返回左子树高度
public int getLeftHeight() {
if(left == null) {
return 0;
}
return left.getHeight();
}
//返回右子树高度
public int getRightHeight() {
if(right == null) {
return 0;
}
return right.getHeight();
}
//左旋转的方法
private void leftRotate() {
//创建新的结点，值等于当前节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前节点的左子树
newNode.left = left;
//把新的结点的右子树设置成当前结点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树
right = right.right;
//把当前节点的左子树（左子结点）设置成新的结点
left = newNode;
}
//右旋转的方法
private void rightRotate() {
//创建新的结点，值等于当前节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的右子树设置成当前节点的右子树
newNode.right = right;
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//把当前结点的值替换成左子结点的值
value = left.value;
//把当前结点的左子树设置成当前结点的左子树的左子树
left = left.left;
//把当前节点的右子树（右子结点）设置成新的结点
right = newNode;
}
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}
//查找要删除的节点
//根据希望删除的节点的值value来查找，如果找到返回该节点，否则返回null
public Node search(int value) {
if(value == this.value) { //找到就是该节点
return this;
} else if(value < this.value) { //如果查找的值小于当前节点，向左子树递归查找
//如果左子节点为空
if(this.left == null) {
return null;
}
return this.left.search(value);
} else { //如果查找的值不小于当前节点，向右子树递归查找
if(this.right == null) {
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}
//查找要删除节点的父节点
//根据希望删除的节点的值value来查找，返回该节点的父节点， 没有就返回null
public Node searchParent(int value) {
//如果当前节点就是要删除的节点的父节点，就返回
if((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
//如果查找的值小于当前节点的值，并且当前节点的左子节点不为空
if(value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent(value); //向左子树递归查找
} else if(value >= this.value && this.right != null) {
return this.right.searchParent(value); //向右子树递归查找
} else {
return null; //没有找到父节点
}
}
}
//添加节点的方法
//递归的形式添加节点。注意需要满足二叉排序树的要求
public void add(Node node) {
if(node == null) {
return;
}
//判断传入节点的值和当前子树的根节点的值的关系
if(node.value < this.value) {
//如果当前节点左子节点为null
if(this.left == null) {
this.left = node;
} else {
//递归的向左子树添加节点
this.left.add(node);
}
} else { //添加的这个节点的值大于等于当前节点的值
if(this.right == null) {
this.right = node;
} else {
//递归的向右子树添加节点
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个结点后，如果 右子树的高度 - 左子树的高度 > 1，左旋转
if(getRightHeight() - getLeftHeight() > 1) {
//如果该结点的 右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度。
if(right != null && right.getLeftHeight() > right.getRightHeight()) {
//先对当前结点的右子结点进行右旋转
right.rightRotate();
//再对当前节点进行左旋转
leftRotate();
} else {
//直接进行左旋转即可
leftRotate();
}
return;
}
//当添加完一个结点后，如果 左子树的高度 - 右子树的高度 > 1，右旋转
if(getLeftHeight() - getRightHeight() > 1) {
//如果该结点的 左子树的右子树的高度大于它的左子树的左子树的高度。
if(left != null && left.getRightHeight() > left.getLeftHeight()) {
//先对当前结点的左结点进行左旋转
left.leftRotate();
//再对当前节点进行右旋转
rightRotate();
} else {
//直接进行右旋转即可
rightRotate();
}
}
}
public void infixOrder() {
if(this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}
分析可能有点难懂，自己画图理解。
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