codeforces 1572B. Xor of 3 (div1)

$difficult：2500$

传送门

题意

给定一个长度为 $n$ 的数组，数组内的元素只能是 $0$ 和 $1$，每次操作可以任意选择在 $[1,n-2]$ 范围内的 $i$ ，并使 $a_i=a_{i+1}=a_{i+2}=a_i\oplus a_{i+1}\oplus a_{i+2}$ ，问是否能够在 $n$ 次操作内将所有元素变为 $0$ ，并输出操作次数及对应操作选择的下标 $i$ 。

容易知道，连续的三个元素在操作前后，异或和不会产生变化，因此若所有元素的异或和不为 $0$ ，则一定无解。而在有解的情况下，容易证得 $n$ 为奇数时一定有解，示例如下：

下标	1	2	3	4	5	6	7
初始值	$a$	$b$	$c$	$d$	$e$	$f$	$g$
对 $i=5$ 操作	$a$	$b$	$c$	$d$	$e\oplus f\oplus g$	$e\oplus f\oplus g$	$e\oplus f\oplus g$
对 $i=3$ 操作	$a$	$b$	$c\oplus d\oplus e\oplus f\oplus g$	$c\oplus d\oplus e\oplus f\oplus g$	$c\oplus d\oplus e\oplus f\oplus g$	$e\oplus f\oplus g$	$e\oplus f\oplus g$
对 $i=1$ 操作	$0$	$0$	$0$	$c\oplus d\oplus e\oplus f\oplus g$	$c\oplus d\oplus e\oplus f\oplus g$	$e\oplus f\oplus g$	$e\oplus f\oplus g$
对 $i=3$ 操作	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$e\oplus f\oplus g$	$e\oplus f\oplus g$
对 $i=5$ 操作	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

---

当 $n$ 为偶数时，若 $a_1$ 或 $a_n$ 的值为 $0$， 可以通过忽略对应位，从而转化为上述 $n$ 为奇数的情况讨论。

当 $n$ 为奇数且两端均为 $1$ 时，若中间段所有的 $a_{2k}==a_{2k+1}$，则无解，例: $1$ $0$ $0$ $1$ 。

当中间段不满足上述要求时，可以将数组切割成长为奇数且保证有解的两部分，其中切割点为：前缀长度为奇数且异或和为 $0$，例：$1001110011$ 可切割为 $1001110$ 和 $011$ 两部分，再分别代回 $n$ 为奇数情况下讨论。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl "\n"
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;

int a[N], ans[N];

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum ^= a[i];
    }
    if (sum != 0) {
        cout << "NO" << endl;
        return;
    }
    int cnt = 0;

    //偶数 但最后一位为0 可化为奇数段
    if (n % 2 == 0 && a[n] == 0)
        n--;

    //奇数情况
    if (n % 2 == 1) {
        cout << "YES" << endl;
        cout << n - 2 << endl;
        for (int i = n - 2; i >= 1; i -= 2) {
            cout << i << " ";
        }
        for (int i = 3; i <= n - 2; i += 2) {
            cout << i << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }

    //偶数 但第一位为0 可化为奇数
    if (n % 2 == 0 && a[1] == 0) {
        cout << "YES" << endl;
        cout << n - 3 << endl;
        for (int i = n - 2; i >= 2; i -= 2) {
            cout << i << " ";
        }
        for (int i = 4; i <= n - 2; i += 2)
            cout << i << " ";
        cout << endl;
        return;
    }

    //两边都为1的偶数
    int flag = 1;
    sum = a[1] ^ a[2];
    for (int i = 2; i <= n - 2; i += 2) {
        if (a[i] != a[i + 1]) {
            flag = 0;
            break;
        }
    }
    if (flag) {
        cout << "NO" << endl;
        return;
    }

    cout << "YES" << endl;
    int pos = 0;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        sum ^= a[i];
        if (sum == 0 && i % 2 == 1) {  //存在前缀异或和为0且长度为奇数
            pos = i;
            break;
        }
    }

    //前半长度：pos 后半：n-pos
    //前半需要:pos-2  后半:n-pos-2 共n-4
    cout << n - 4 << endl;
    for (int i = pos - 2; i >= 1; i -= 2)
        cout << i << " ";
    for (int i = 3; i <= pos - 2; i += 2)
        cout << i << " ";
    for (int i = n - 2; i >= pos + 1; i -= 2)
        cout << i << " ";
    for (int i = pos + 3; i <= n - 2; i += 2)
        cout << i << " ";
    cout << endl;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T = 1;
    cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}