【01 背包问题（动态规划法解决）】

最新推荐文章于 2023-03-26 21:26:10 发布

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分类专栏：【ACM**贪心】【算法**总结】

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lavendermaple/article/details/21557305

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本文深入探讨0-1背包问题的解决方法，通过动态规划技术实现最优解的选择。介绍了如何构建动态规划方程，逐步解析算法过程，并给出具体实例与代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。

 动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。因为背包的最终最大容量未知，所以，我们得从1到M一个一个的试，比如，刚开始任选N件物品中的一个，看对应的M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多少空间，则，多出来的空间能放N-1物品中的最大价值，怎么能保证总选则是最大价值呢，看下表：
 测试数据：
 10,3
 3,4
 4,5
 5,6
 这里i 表示放入物品的个数，j表示背包的容量。

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

c(n,m)=max{c(n-1,m), c(n-1,m-w[n])+P(n)}这就是书本上写的动态规划方程.

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前n件物品放入重量为m的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前n-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前n-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为c[n-1][m]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前n-1件物品放入剩下的重量为m-w[n]的背包中”，此时能获得的最大价值就是c[n-1][m-w[n]]再加上通过放入第i件物品获得的价值p[n]。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int c[10][100];
int knapsack(int m,int n){
    int i,j,w[10],p[10];
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);
    memset(c,0,sizeof(c));/*初始化数组*/
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++){
		c[i][j]=c[i-1][j];
            if(w[i]<=j){/*如果当前物品的容量小于背包容量*/
                if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
                    c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
            }
        }
        return (c[n][m]);
}
int main(){
    int m,n,i,j;
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("%d",knapsack(m,n));
}

 
 一维代码转化：

for i=1..N //枚举物品
    for v=V..0 //枚举容量，从大到小
        f[v]=max{f[v],f[v-weight[i]] + cost[i]};

初始化：
   （1）若要求背包必须放满，则初始如下：
        f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时，只接受一个容积为0的物品入包。
   （2）若要求背包可以空下，则初始化如下：
        f[0...V] = 0 ，表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。
   具体解释如下：
      初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。
     如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可能被价值为 0 的 nothing“ 恰好装满 ” ，
     其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是 -∞ 了。
     如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解 “ 什么都不装 ” ，
     这个解的价值为 0 ，所以初始时状态的值也就全部为 0 了。

 典型例子：

 http://blog.youkuaiyun.com/lavendermaple/article/details/21560475
 

二、 可以转化为0-1背包的问题：
 思想：题目就是要你均分，如果不能均分就尽量使两堆重量/票价差距最小。可以想象成有一堆物品，两个容器（容量和除以2），只要保证把其中一个容器的容积尽量加满（当然恰好能满最好），这就转化成了0，1背包问题了。代码就简单了
 典型例子：
 
 http://blog.youkuaiyun.com/lavendermaple/article/details/21629477
 
 http://blog.youkuaiyun.com/lavendermaple/article/details/21630585
 