leetcode——Distinct Subsequences

题目：

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

思路：

首先，S是主串，T是匹配串，我们需要使用T的每一个字母去匹配S中的子串，而且相对位置顺序要跟T一致。

因此，我们建立矩阵，依次标明S和T的匹配情况。以题目中 的例子来看：

初始矩阵为：

	r	a	b	b	b	i	t
r
a
b
b
i
t

然后思考，既然有匹配时候的先后顺序，也就是T中在前的字母会先跟S进行匹配，因此，该矩阵的值（先不管值的意义），一定可以按照行的顺序先后得到。

再次，对于T的某一个字母x，如果S中有多个x可以匹配，必然是先跟S前面的x相匹配，那么，该矩阵的列的计算顺序也就是从前往后。

现在思考矩阵（设为W）值的意义：

不妨设当前位置为W[i][j]，即t[i] 要跟S[j]相匹配，则有两种情况：

1.T[i] !=S[j];表示目前为止匹配到T[i]时的情况总数，其结果为上一层的结果，那么当前是W[i][j]，在利用上一层的结果时，最好利用W[i-1][j-1]来记录。

2.T[i]==S[j];表示当前位置匹配到T[i]时的情况总数，其结果为上一层的结果数*1（1 为当前T[i]=S[j]这个情况）+ 当前层T[i]跟S[j]之前匹配到的情况总数。

因此，对于情况2来说，在每一层都需要初始化一个sum变量，记录截止到T[i]跟S[j]进行匹配之前的总的结果数，然后更新sum，并赋值给W[i][j]。

对于1的情况而言，每次将sum值直接赋给W[i][j]就好了。

这种处理方法的巧妙地方就在于：

对于W[i][j]而言，在对应的两个字母匹配之前的字母匹配情况都可以直接由W[i-1][j-1]得出从而直接算出当前两个字母匹配（或不匹配）之后的结果，

作为后面字母的“垫脚石”。

更具体的谈：上述矩阵计算步骤为：从上到下，从左到右。

	r	a	b	b	b	i	t
r	sum=0->sum+1-> （sum=1）	sum=1->1-> （sum=1）	sum=1->1-> （sum=1）	sum=1->1-> （sum=1）	sum=1->1-> （sum=1）	sum=1->1-> （sum=1）	sum=1->1-> （sum=1）
a	sum=1->0-> （sum=1）	sum=0->1*1 （sum=1)	sum=1->1 （sum=1）	sum=1->1 （sum=1）	sum=1->1 （sum=1）	sum=1->1 （sum=1）	sum=1->1 （sum=1）
b	sum=0->0 （sum=0）	sum=0->0 （sum=0）	sum=0->1*1 （sum=1）	sum=1-> sum+1*1 （sum=2）	sum=2-> sum+1*1 （sum=3）	sum=3-> 3 （sum=3）	sum=3-> 3 （sum=3）
b	0	0	0+0*1=0	0+1*1=1	1+2*1=3	3	3
i	0	0	0	0	0	0+3*1=3	3
t	0	0	0	0	0	0	0+3*1=3

最终在W[5][6]得到答案。

AC代码：

public class Distinct_Subsequences {
    public int numDistinct(String S, String T) {
        if(S.length()==0 && T.length()==0)
            return 1;
        if(S.length()==0 || T.length()==0)
            return 0;
        char[] s = S.toCharArray();
        char[] t = T.toCharArray();
        int[][] w = new int[t.length][s.length];
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<s.length;i++){
            if(t[0]==s[i]){
                sum++;
                w[0][i] = sum;
            } else
                w[0][i] = sum;
        }

        for(int i=1;i<t.length;i++)
            w[i][0]=0;
        for(int i=1;i<t.length;i++){
            sum=0;
            for(int j=1;j<s.length;j++){
                if(t[i]==s[j]){
                    sum+=w[i-1][j-1];
                    w[i][j] = sum;
                }
                else
                    w[i][j]=sum;
            }
        }

        return w[t.length-1][s.length-1];
    }
    public static void main(String[] args){
        Distinct_Subsequences distinct_subsequences  = new Distinct_Subsequences();
        System.out.println(distinct_subsequences.numDistinct("r",""));
    }
}