Gauss error function

0. error function

$$\text{erf}(x)=\frac{1}{\sqrt\pi}\int_{-x}^{x}e^{-t^2}dt$$

python 下的 math 标准库定义着 erf 的实现。

1. 从 error function 到标准正态分布 cdf 的实现

标准正态分布的累积分布函数无法用基本的解析形式表示，但却可通过的简单形式变换而计算得到：

$$\Phi (x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \operatorname{erf} \left(x/ \sqrt{2}\right) = \frac{1}{2} \operatorname{erfc} \left(-x/ \sqrt{2}\right)$$

2. python 实现

def phi(x, mu=0, sigma=1):
    return (1 + math.erf((x-mu) / math.sqrt(2) / math.sqrt(sigma)))/2