数值溢出（arithmetic overflow）问题与解决方案

0. 典型场景

• 两数相加（乘法）、两数相减、一个数的阶乘，一个数的幂，这些统统可能造成数值的溢出；
• 避免数值溢出的方法：
  
  • 当把一个计算出的很大的数赋值给一个 int（2^31-1）类型变量存储时，一般会溢出，这个时候可以采用取模的方式进行溢出的避免；

如，不能用表达式 $x-y<0$ 取代 $x\lt y$，$x-y$ 可能会造成数值溢出，同样地也不能用表达式 $-y\lt -x$，在补码表示中正数和负数（+0和-0 是不同的数）的范围是不对称的。

1. 求最小公倍数

• 根据最大公约数求最小公倍数；

  $$\text{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\text{gcd}(a,b)}$$

  int gcd(int a, int b);
  int lcm(int a, int b){
      return (a * b)/gcd(a, b);
  }

  数学意义上确实没有异议，但在编程实现时，考虑到计算机表示能力的限制，计算最小公倍数时，中间需要计算二者的乘积 a*b，乘法容易造成数值的上溢；

  int lcm(int a, int b){
      return a * (b / gcd(a, b));
  }

2. 求组合数时

$$\binom nr=\frac{n!}{(n-r)!r!}$$

中间的 $n!$ 在某些输入的情况下，其值也会十分可观（上溢）。

此时可以使用递归式计算组合数：

$$\binom nr=\binom {n-1}r+\binom{n-1}{r-1}$$

int comb(int n, int r){
    if (n == r) return 1;
    if (n == 0 || r == 0) return 1;
    return comb(n - 1, r) + comb(n - 1, r - 1);
}