数值溢出(arithmetic overflow)问题与解决方案

本文探讨了在编程中常见的数值运算问题,包括如何避免数值溢出,利用取模操作来处理大数值,并介绍了求最小公倍数和组合数的有效方法。

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0. 典型场景

  • 两数相加(乘法)、两数相减、一个数的阶乘,一个数的幂,这些统统可能造成数值的溢出;
  • 避免数值溢出的方法:
    • 当把一个计算出的很大的数赋值给一个 int(2^31-1)类型变量存储时,一般会溢出,这个时候可以采用取模的方式进行溢出的避免;

如,不能用表达式 xy<0 取代 x<yxy 可能会造成数值溢出,同样地也不能用表达式 y<x,在补码表示中正数和负数(+0和-0 是不同的数)的范围是不对称的。

1. 求最小公倍数

  • 根据最大公约数求最小公倍数;

    lcm(a,b)=abgcd(a,b)
    int gcd(int a, int b);
    int lcm(int a, int b){
        return (a * b)/gcd(a, b);
    }

    数学意义上确实没有异议,但在编程实现时,考虑到计算机表示能力的限制,计算最小公倍数时,中间需要计算二者的乘积 a*b,乘法容易造成数值的上溢;

    int lcm(int a, int b){
        return a * (b / gcd(a, b));
    }

2. 求组合数时

(nr)=n!(nr)!r!

中间的 n! 在某些输入的情况下,其值也会十分可观(上溢)。

此时可以使用递归式计算组合数:

(nr)=(n1r)+(n1r1)
int comb(int n, int r){
    if (n == r) return 1;
    if (n == 0 || r == 0) return 1;
    return comb(n - 1, r) + comb(n - 1, r - 1);
}
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