斐波那契数列连续十项的和

$$f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7,f_8,f_9,f_{10}$$

不限制起点，也即对 $f_1, f_2$的值不要求为标准的 0,1/1,1，取值随意。

不妨设：$f_1=x,f_2=y$，则有：

• $f_1=x$
• $f_2=y$
• $f_3=x+y$
• $f_4=x+2y$
• $f_5=2x+3y$
• $f_6=3x+5y$
• $f_7=5x+8y$
• $f_8=8x+13y$
• $f_9=13x+21y$

• $f_{10}=21x+34y$

  所以其和为：
  

  $$\begin{split} f_1+f_2+f_3+f_4+\cdots+f_{10}&=x+y+\left(x+y\right)+\left(x+2y\right)+\left(2x+3y\right)+\cdots+\left(21x+34y\right)\\ &=55x+88y=11\left(5x+8y\right)=11\cdot f_7 \end{split}$$

也即任意斐波那契的连续十项的和是其第 7 项的11倍。