Euler 的面（Face，F）、顶（Vertex，V）、棱（Edge，E）公式

F、V、E 分别代表一个凸多边形的面数、顶点数和棱数。

通过对四面体、六面体、六棱锥以及六棱柱的观察，可归纳出一个一般性的结论为：

$$F+V-E=2$$
进一步我们需验证其合理性（使用数学归纳法，对前 k-1 项都成立，新添加第 k 个点）：

设想多面体某一面外增加一点 A 和该面（比如说有 k 个顶点的面）的各顶点联结起来，

• 增加了 k 个棱
• 增加了 k - 1 个面
• 增加了一个顶点

因此 F+V-E = 2 的等式总是保持不变的；

注：

• 在四面体外（k = 4），增加一个顶点，当然构成的不是六面体（k=8），

0. 顶点数、每个顶点对应的棱 ⇒ 棱的个数

• 三棱锥：4 个顶点，每个顶点 3 条棱 ⇒ 6 个棱
• 六面体：8 个顶点，每个顶点 3 条棱 ⇒ 12 个棱

自然可以得到：顶点数目 $n$，顶点关联的棱的个数 $k$ ⇒ 棱的个数（$\frac{n\cdot k}2$）

• 除以 2 在于，每一条棱都被两个面共享；

更有结论，对于 $n$ 棱柱（不是椎体）：

• 面：n+2
• 点：2n
• 棱：3n

对于 $n$ 棱锥而言：

• 面：n+1
• 点：n+1
• 棱：2n

对于棱柱体，顶点的个数是十分容易确定的，

考虑这样一个问题，格林太太的精品店里有一个玻璃多面体（多面体的实用性在于每个面都可粘贴相应的画面）。圣诞节日到了，商店决定用这个玻璃体来做装饰，店想在玻璃体上贴上圣诞老人，每个面贴上一个。她决定去买圣诞老人的图像回来。去买之前，她数那些玻璃体的面以决定买几个。但是她翻来覆去的数但是数不清要贴几个。只好叫住在附近的邻居来帮忙。她的邻居是一个数学老师，不到一分钟就数好了。他怎么数呢？

• 先数点：60 个点
• 每个点 ⇒ 3 条棱
• 则可得棱的个数为：60*3/2 ⇒ 90

因此，根据方程，面 + 点 - 棱 = 2 ⇒ 面 = 32；

1. 举一反三

k 个顶点的多面体外，增加一个新的点，会增加几个面？

• 顶点的变化为：1
• 棱的变化为：k

则可根据：

$$F+V-E=2$$

得到：面增加了 k-1 个；