向上取整和向下取整（ceil、round）

• Floor and ceiling functions - Wikipedia
• Useful Properties of the Floor and Ceil Functions

0. 基础

• 向上取整：比自己大的最小整数；
• 向下取整：比自己小的最大整数；
• 四舍五入：更接近自己的整数；

$$x-1<\lfloor x \rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil < x+1$$

$$\lfloor n/2\rfloor+\lceil n/2\rceil=n$$

$$\left\lceil\frac ab \right\rceil\leq \frac{a+(b-1)}{b}$$

$$\left\lfloor\frac ab\right\rfloor\geq \frac{a-(b-1)}{b}$$

1. 编程实现

a/b
        // 向下取整
(a+(b-1))/b 
        // 向上取整
int（float(a)/b + .5） 
        // 四舍五入

$$\begin{split} &向下取整：\frac ab\\ &向上取整：\frac{a+b-1}b\\ &四舍五入：\text{int}(\frac{a\times 1.}{b}+0.5) \end{split}$$

之所以在向上取整时，分子部分要减去1，是为了避免出现，a 能被 b 整除的情况。

12 / 3 == 4， （12+3）/3==5，而对 3 向上取整仍为 3.

2. 其他角度的理解

• $y-1\lt x\leq y$ ⇒ $x=\lfloor y \rfloor$

• $y\leq x\lt y+1$ ⇒ $x=\lceil y\rceil$

3. 对数

$$\lceil\log_2(n+1)\rceil-1=\lfloor\log_2n\rfloor\\ \lceil\log_2(n+1)\rceil=\lfloor\log_2n\rfloor+1$$

对于对数取整，有如下基本性质：

$$\left\{ \begin{split} &k=\lfloor\log_bx\rfloor \Leftrightarrow k\leq \log_bx\lt k+1\Leftrightarrow b^k\leq x \lt b^{k+1}\\ &k=\lceil \log _bx\rceil \Leftrightarrow k-1\lt \log_b x\leq k \Leftrightarrow b^{k-1}\leq x \lt b^k \end{split} \right.$$

4. 一些补充

• （1）$\frac{a+(a+1)}2=a$，也即两个连续的整数（$a, a+1$）中间的数，就是左边的数，0,1 ⇒ 0
• （2）编程语言整数之间的除法，是向下取整，
  
  • 1/2 ⇒ 0
  • -1/2 ⇒ -1