质数的无穷性——从素数到数论

很多自然数都可分解成一些更小的数（直至不可再分，即为素数）的乘积，例如 $12=4\times 3$，其中 $4=2\times 2$，因此 $12=2\times 2\times 3$。而此时，2 和 3都不可再继续进行分解了，它们是最基本、最纯净的数，我们就把这样的数叫做“质数”或者“素数”。同样地，2/3/5/7/11/13等等都是不可分解的，它们也都是质数。它们是自然数的构件（building blocks），是自然数世界的基本元素。12 由两个 2 和一个 3 组成，正如水分子（$H_2O$）是由两个氢原子和一个氧原子组成的一样。只不过，和化学世界不同的是，自然数世界里的基本元素是无限的——质数有无穷多个。

关于为什么质数有无穷多个，欧几里得有一个非常漂亮的证明。反证法进行证明，假如质数只有有限个，其中最大的那个质数为 $P$（既然是最大的，也即，凡大于 $P$ 的数均不是素数）。现在把所有的质数连乘起来，再加一，得到一个新的数 $N$，也即，$N=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot \ldots \cdot P+1$，注意到 $N$除以每一个质数都会余1。这意味着，$N$ 不能被任意一个质数整除，换句话说 $N$ 不可被分解，也即为素数。于是产生矛盾。质数有无限多个。

需要补充的的一点是，这个证明容易让人产生误解，即把头 $n$个质数连乘起来再加1，总能产生一个新的质数。这是不对的，因为既然只是选择的前 $n$个（哪怕 $n$ 很大），那么所得数就有可能是那些我们没有乘进去的质数构成的，比如$2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031$，它可以被分解为 $59\times 509$。

从欧几里得时代就开始，人们近乎疯狂地想要认识自然数的本质规律。组成自然数的基本元素（也即是质数）自然就成为了一个绝佳的突破口，于是对质数的研究成为了探索自然数世界的一个永久的话题。也是今天所说的“数论”。

用质数理论来研究说，真的会非常方便。$a$ 是 $b$ 的倍数（或者说 $a$ 能被 $b$ 整除，$b$ 是 $a$ 的约数），意为 $a$ 拥有 $b$ 所含的每一种质数，并且个数不会更少，$12=2\times 2\times 3,a=12\times 15=2\times 2\times 3\times 3\times 5$，

• 12 中有两个2，180 中也有两个2
• 12 中有一个3，180 中有两个3
• 180 中还包含 12 中没有的质数，也即是 5；
• 对于每一种质数，12 里面所含的个数都比不过 180，这其实是表明 12 是 180 的约数；

假设 $a = 36=2\times 2\times 3\times 3,\;b=120=5!=2\times 2\times 2\times 3\times 5$，那么，$a$ 和 $b$ 的最大公约数是多少？我们可以依次考察，最大公约数里面可能会包含哪些质数，以及每个质数的个数。

• 这个最大公约数最多可以包含多少个质数2？显然最多包含 2 个，否则无法整除 $36$
• 这个最大公约数最多可以包含多少个质数 3？显然只有一个，否则无法整除 120.
• 这个最大公约数最多可以包含多少个质数 5？显然一个都不能有，否则无法整除 36；
• 因此，$36$ 和 $120$ 的最大公约数为 $2\times 2\times 3=12$

我们接着来看 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数的构造。我们希望每种质数在数量足够的前提下越少越好（最小上界），为了让这个数既是 $a$ 的倍数，又是 $b$ 的倍数，三个2是必须的，两个3是必须的，一个5也是必须的。因此，$a$ 和 $b$ 的最小公倍数就是 $2^3\times 3^2\times 5^1=360$。便会发现 $12\times 360=36\times 360$.

这其实也不奇怪，在最大公约数里面，每种质数有多少个，取决于 $a$ 和 $b$ 当中谁含的这种质数更少一些，

$$\begin{split} &36=\underbrace{2\times2}\times3\times3\underbrace{}\\ &120=2\times2\times2\times\underbrace 3\times5 \end{split}$$
在最小公倍数的构成里面，每种质数有多少个，取决于 $a$ 和 $b$ 当中谁所包含的这种质数更多一些，

$$\begin{split} &36=2\times 2\times \underbrace{3\times3}\\ &120=\underbrace{2\times 2\times 2}\times 3\times \underbrace{5} \end{split}$$

两者“互补”，最大公约数与最小公倍数乘在一起，也就相当于把 $a$ 和 $b$ 各自所包含的质数都乘了一个遍。这即刻为我们带来了一个熟悉的推论：如果两数互质（最大公约数为1），这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。

两数互质，相当于说这两个数不包含任何相同的质数，如果 $a$ 与 $c$ 互质，$b$ 与 $c$ 互质，显然 $a\cdot b$ 也与 $c$ 互质。还有另外一个结论，如果 $a$ 与 $b$ 是两个不同的质数，则这两个数一定是互质的。

关于质数，有很多有趣美妙的定理。1640年，法国业余数学家 Pierre de Fermat（也即是费马大定理的提出者：费马）发现，如果 $n$ 为质数，那么对于任意一个数 $a$，$a$ 的 $n$ 次方减去 $a$ 都将是 $n$ 的倍数（$n|a^n-a$）。例如，7是一个质数，则 $2^7-2,3^7-3,4^7-4$，甚至 $100^7-100$，统统都能被 $7$ 整除。

Fermat 小定理有一个等价的表述：如果 $n$ 是一个质数的话，那么对于任意一个数 $a$，随着 $i$ 的增加，$a^i\;\%\;n$（也即关于 $n$ 的余数）将会呈现长度为 $n-1$ 的周期性，也即 $a^i\;\%\;n=a^{i+n-1}\;\%\;n$。

• 这是因为 $n|a^n-a$，也即 $a^n\equiv a\pmod n$，也即依次计算 $a^1,a^2,\ldots,a^n$ 关于 $n$ 的余数时，$a^n$ 余数将会变得和 $a^1$（最开始的）相同，
• 另一方面，$a^i\;\%\;n$ 的余数，完全由前一项 $a^{i-1}\;\%\;n$ （所决定）。比如 $3^3/7$ 的 3余6，这表明，$3^3$ 里包含 3 个 7 以及一个 6；因此，$3^4$ 里就包含 9 个 7（能够被7整除） 以及 3个6。为了得到 $3^4=3^3\cdot 3$ 关于 $7$ 的余数，只需要看 18 除以 7 余多少就行了。可见，要想计算 $a^i$ 关于 $n$ 的余数，$a^{i}\;\%\;n=\left [a\cdot (a^{i-1}\;\%\;n) \right ]\;\%\;n$
• 综上，得证

>>> a, n, N = 3, 7, 20
>>> [a**i%n for i in range(1, N)]

[
    3, 2, 6, 4, 5, 1, 
    3, 2, 6, 4, 5, 1, 
    3, 2, 6, 4, 5, 1, 
    3]

需要注意的是，$n-1$ 并非是最小的周期。我们来看 $2^i$ 除以7的余数情况，$7-1=6$ 也是一个周期，但 3 其实是它更小的周期：

>>> a, n, N = 2, 7, 20
>>> [a**i%n for i in range(1, N)]
[2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2]

如果除数 $n$ 不是质数（而非质数是由质数构成），比如是两个质数的乘积（比如 35），周期的长度又会怎样呢？$3^i$ 关于 35 的余数又有什么规律呢？注意到 5 和 7是两个不同的质数，它们显然直接就互质了。根据中国剩余定理，一个数除以 35 的余数就可以唯一地由它除以 5 的余数和除以 7 的余数确定出来。因而，为了研究 $3^i$ 除以 35 的余数，我们只需要观察 $3^i\;\%\;5,3^i\;\%\;7$ 即可。由费马小定理可知，数列 $3^i\;\%\;5$ 有一个长为 4 的周期，数列 $3^i\;\%\;7$ 有一个长为 6 的周期。4 和 6 的最小公倍数是 12，因此 $3^i\;\%\;5,3^i\;\%\;7$ 存在一个长为 12 的周期。到了 $i=13$ 时，$3^i\;\%\;5,3^i\;\%\;7$ 将会开始重复，也即 $3^i$ 除以 35的余数将从此处开始发生循环。

>>> a, n, N = 3, 35, 37
>>> l = [a**i%n for i in range(1, 1+N)]
>>> print([l[i*12:(i+1)*12] for i in range(len(l))])

[   [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1], 
    [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1], 
    [3, 9, 27, 11, 33, 29, 17, 16, 13, 4, 12, 1]
]

类似地，假如某个整数 $n$ 等于两个质数 $p$、$q$ 的乘积，那么对于任意一个整数 $a$，写出 $a^i$ 依次除以 $n$ 所得的余数序列，$(p-1)、(q-1)$的最小公倍数将称为该序列的一个周期。事实上，$p-1$ 和 $q-1$ 的任意一个公倍数，比如表达起来最为方便的 $(p-1)\times (q-1)$，也将成为该序列的一个周期。这个规律可以用来解释很多数学现象。例如，大家可能早就注意过，任何一个数的乘方（$a^i$），其个位数（$\%\;10$）都会呈现出长度为 4 的周期（这包括周期为1（5）和周期为2（4）的情况），其实是因为，10 等于 2 和 5 这两个质数的乘积，而 $(2-1)\times(5-1)=4$。

1736年，瑞士大数学家 Leonhard Euler（欧拉）对此进行了进一步的研究，讨论了当 $n$ 是更复杂的数时推导余数序列循环周期的方法，得到了一个非常漂亮的结果：在 1 到 $n$ 的范围内有多少个数和 $n$ 互质（包括1在内），$a$ 的 $i$ 次方除以 $n$ 的余数序列就会有一个多长的周期。为了将上述定理和其他的 “Euler 定理”区别开来，有时也称它为 “Fermat-Euler” 定理。