39、大规模动态经济模型的数值方法：随机模拟算法解析

大规模动态经济模型的数值方法：随机模拟算法解析

1. 传统插值公式的低效性

传统插值公式（31） - （33）存在效率问题。它会从满足条件(max(d, μ + 1) ≤i1 + · · · + id ≤d + μ)的所有张量中生成一个包含大量重复元素的长列表，然后为列表中的每个元素分配权重以消除重复元素。

重复元素的数量会随着问题的维度和近似水平的增加而增多。以二维示例来说，当(μ = 1)时，列表包含7个元素（其中2个元素重复）；当(μ = 2)时，列表包含25个元素（其中12个元素重复）。在高维应用中，重复元素的数量会非常庞大，这严重限制了Smolyak方法的能力。

不过，原始的Smolyak（1963）构造为我们提供了一组用于插值的有效网格点和基函数。但基于（39）的公式在生成这些网格点和基函数时效率较低。Judd等人（2013）提出了一种避免元素重复的Smolyak插值公式，是基于（39）的传统插值公式的有效替代方案。

2. 广义随机模拟算法概述

使用随机模拟来寻找经济模型的解这一想法可以追溯到Marcet（1988）的参数化期望算法（PEA），该算法后来在Den Haan和Marcet（1990）的研究中得到发展。PEA适用于高维问题，但由于蒙特卡罗积分的精度较低，其整体准确性受到限制。此外，PEA基于最小二乘学习，在随机模拟的情况下数值不稳定。

Judd等人（2009，2011b）提出了广义随机模拟算法（GSSA），用精确的确定性积分取代了不准确的蒙特卡罗积分，用适合处理病态问题的回归方法取代了不稳定的最小二乘学习。GSSA方法在数值上是稳定的，其解的精度与相关文献中的最佳精度相当。例如，Hasanho