74、量子纠缠：挑战与应用

量子纠缠：挑战与应用

1. 氢原子中的电子波函数

在处理非相对论性氢原子的简单模型时，我们并非从电子和质子入手，而是从具有约化质量的有效粒子开始。在经典力学中，我们讨论过质心自由度的消除，在量子力学中也有类似的处理，只是将动量替换为量子算符。

从两体哈密顿量开始：
[H = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_e^2 - \frac{\hbar^2}{2m_p}\nabla_p^2 + V(\rho)]
其中，(\nabla_e)作用于(\vec{r}_e)，(\nabla_p)作用于(\vec{r}_p)，且(\vec{\rho} = \vec{r}_e - \vec{r}_p)。

波函数(\psi = \psi(\vec{r}_e, \vec{r}_p))依赖于两个粒子的坐标和自旋，但在非相对论极限下，由于(H)不依赖于自旋，我们忽略自旋。接着，引入质心：
[\vec{R} = \frac{m_e\vec{r}_e + m_p\vec{r}_p}{m_e + m_p}]
约化质量(\mu)满足：
[\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_p}]
总质量(M = m_e + m_p)。对于氢原子，(\mu \sim m_e)。

使用变换后的哈密顿量：
[H = -\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_R^2 - \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla_{\rho}^2 + V(\rho)]
问题是可分离的，即：
[\psi(\vec{r}_e, \vec{r}_p) = \var