48、三维单粒子定态问题解析

三维单粒子定态问题解析

在研究量子力学中的三维单粒子定态问题时，我们会涉及到多个重要的概念和方程，下面将逐步展开介绍。

1. 球谐函数

在处理角向方程时，我们假设 $Y_{lm}(\theta, \varphi) = \Theta_{lm}(\theta)\Phi_m(\varphi)$ ，其中 $\frac{d^2\Phi_m}{d\varphi^2} = -m^2\Phi_m$ ，其解为 $\Phi_m = e^{im\varphi}$ ，这里 $m$ 为整数。

而 $\Theta$ 方程是勒让德方程：$\sin(\theta)\frac{d}{d\theta}(\sin(\theta)\frac{d\Theta_{lm}}{d\theta}) + {\lambda\sin^2(\theta) - m^2}\Theta_{lm} = 0$ ，其中 $\lambda = l(l + 1)$ 。

对于不同的 $l$ 和 $m$ 值，方程有不同的解：
- 当 $l = m = 0$ 时，$\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin(\theta)\frac{\partial}{\partial\theta})\Theta(\theta) = 0$ ，解为 $\Theta = 1$ 。
- 当 $l = 1$ ，$\lambda = 2$ 时：
- 若 $m = 0$ ，$\Theta = \cos(\theta)$ 。
- 若 $m = \pm1$ ，$\Theta = \sin(\theta)$ 。

一般情况下，当 $m = 0$ 时，解是关于 $\cos(\theta)