28、引力相关现象的深入解析

引力相关现象的深入解析

1. 行星轨道偏移

行星轨道偏移与椭圆的半长轴 (a) 和偏心率 (e) 相关，二者关系为 (a(1 - e^2) = \frac{L}{GMm^2})，其中 (L) 是角动量。经计算，水星的轨道偏移为每世纪 42.9”，金星为 8.6”，地球为 3.8”，火星为 1.35”，这些计算结果已得到观测证实，不过仍存在一些因太阳四极矩等小因素导致的不确定性。

2. 测地效应

2.1 原理

考虑一颗绕地球等大质量天体做圆周运动的卫星上的陀螺仪。卫星上的观察者处于自由落体状态，会觉得局部引力场消失，于是建立以卫星为原点、坐标轴指向固定恒星不动的参考系，并将陀螺仪固定在该参考系中。按照牛顿力学，卫星和地球上的观察者都会认为陀螺仪不受力和力矩，会永远以相同方式绕地球旋转，其轴永远指向同一方向。但在广义相对论中，卫星绕大质量天体旋转时会产生三种不同效应，导致陀螺仪旋转轴每次绕地球旋转时都会有微小变化。其中，测地效应（有时也叫测地线效应）与地球自转无关，是由于卫星绕大质量天体旋转产生的。大质量天体在地球参考系中产生接近史瓦西度规的度规，该度规不混合时间和角度，地球上的陀螺仪没有进动。然而，卫星上的瞬时参考系与地球参考系通过洛伦兹变换相连，这会混合空间和时间，使得卫星上的度规张量随时间变化，进而导致卫星参考系中自旋分量随时间变化。出于对称性，设置在轨道平面内的陀螺仪必须保持在该平面内。

2.2 公式推导

在弱场近似下，半径为 (r)、速度为 (v) 的轨道上的陀螺仪，其自旋 (\mathbf{s}) 的变化率为：
(\frac{d\mathbf{s}}{dt} = \boldsymbol{\O