16、热物理学与相关概念解析

热物理学与相关概念解析

1. 热物理学基础与均分定理

1.1 压强公式

压强 (P) 与温度 (T)、体积 (V) 存在关系 (P = \frac{K_BT}{V})，其中 (K_B) 为玻尔兹曼常数。

1.2 均分定理

考虑一个谐振子，其哈密顿量 (H(p, q) = \frac{p^2}{2m} + V(q))，其中 (V(q) = \frac{1}{2}m\omega^2q^2)。通过一系列推导，可得出在温度 (T) 下，势能 (V) 的热平均值 (\overline{V} = \frac{K_BT}{2})，动能 (T) 的热平均值 (\overline{T} = \frac{K_BT}{2})。传统观点认为，对于任何振子系统，每个自由度（即每个 (q) 和每个 (p)）都有 (\frac{K_BT}{2}) 的贡献。振子系统包括分子和固体的振动以及腔中电磁场的简正模式。但该定理在电磁场中失效，这一问题被称为紫外灾难，促使普朗克引入了量子概念。

1.3 实例分析

• 单原子理想气体 ：其哈密顿量 (H = \sum_{i = 1}^{N}\frac{p_{xi}^2 + p_{yi}^2 + p_{zi}^2}{2m})，可推导出内能 (U = \frac{3}{2}NK_BT)，定容比热容 (C_V = (\frac{\partial U}{\partial T})_V = \frac{3}{2}NK_B)。对于 1 摩尔气体，(N \sim 6.022×10^{23}) 为阿伏伽德罗常数，(C_V = \frac{3}{2}R)，其中 (R = NK