10、麦克斯韦方程的一些推论

麦克斯韦方程的一些推论

1. 李纳 - 维谢尔势

在研究运动点电荷产生的势时，狄拉克δ函数起到了重要作用。对于一个沿任意轨迹$\vec{R}(t)$运动的点电荷，在观察点$\vec{x}$处的标势$\varphi(\vec{x},t)$可通过以下方式求得：
已知电荷密度$\rho(\vec{x}’,t’) = e\delta(\vec{x}’ - \vec{R}(t’))$，先对$\vec{x}’$积分，并将$t’$替换为$\tau$，可得：
$\varphi(\vec{x},t) = e\int d\tau\frac{\delta(\tau - t + \frac{r(\tau)}{c})}{r(\tau)}$，其中$\vec{r}(\tau) = \vec{x} - \vec{R}(\tau)$。
这表明势仍具有库仑形式，但存在延迟。光在时间$t$被接收，$t$等于发射时间$\tau$加上传播时间$\frac{r(\tau)}{c}$，而传播时间取决于光发射时电荷的位置。
设$\tau^ $是方程$\tau^ = t - \frac{r(\tau^ )}{c}$的解，则：
$\delta(\tau - t + \frac{r(\tau)}{c}) = \frac{\delta(\tau - \tau^ )}{\vert1 + \frac{1}{c}\frac{dr}{d\tau}\vert}$
由于$\vert\frac{dr}{d\tau}\vert < c$，且电荷位置为$\vec{R}$，速度$\vec{v} = \frac{d\vec{R}}{d\tau}$，$\frac{dr(\tau)}{d\t